PrethodniSledeći
4717.

28

TEKST ZADATKA

U jednakostranični trougao ABC, ABC , stranice dužine a, a , upisan je drugi jednakostranični trougao LMN, LMN , čija su temena na stranama trougla ABC ABC i dele svaku od njih u odnosu 1:2. 1 : 2 . Odrediti površinu trougla LMN. LMN .

REŠENJE ZADATKA

Svaka stranica spoljnog trougla podeljena je na delove a3 \frac a3 i 2a3. \frac{2a}{3} . Između spoljnog i unutrašnjeg trougla nalaze se tri podudarna trougla, a svaki ima stranice tih dužina koje zaklapaju ugao od 60∘. 60^\circ .

a1=a3,a2=2a3a_1=\frac a3,\qquad a_2=\frac{2a}{3}

Površina jednog od tri spoljašnja trougla računa se pomoću dve stranice i zahvaćenog ugla:

P1=12⋅a3⋅2a3⋅sin⁡60∘=a29⋅32=a2318P_1=\frac12\cdot\frac a3\cdot\frac{2a}{3}\cdot\sin60^\circ=\frac{a^2}{9}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{18}

Površina spoljnog jednakostraničnog trougla stranice a a je:

PABC=a234P_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Od površine spoljnog trougla oduzimamo površine tri podudarna spoljašnja trougla:

PLMN=PABC−3P1=a234−3⋅a2318=a23(14−16)=a2312P_{LMN}=P_{ABC}-3P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}-3\cdot\frac{a^2\sqrt3}{18}=a^2\sqrt3\left(\frac14-\frac16\right)=\frac{a^2\sqrt3}{12}

Površina upisanog trougla LMN LMN je a2312. \frac{a^2\sqrt3}{12} .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu