Upisani jednakostranični trougao u jednakostranični

Svaka stranica spoljnog trougla podeljena je na delove $\frac a3$ i $\frac{2a}{3} .$ Između spoljnog i unutrašnjeg trougla nalaze se tri podudarna trougla, a svaki ima stranice tih dužina koje zaklapaju ugao od $60^\circ .$

a_1=\frac a3,\qquad a_2=\frac{2a}{3}

Površina jednog od tri spoljašnja trougla računa se pomoću dve stranice i zahvaćenog ugla:

P_1=\frac12\cdot\frac a3\cdot\frac{2a}{3}\cdot\sin60^\circ=\frac{a^2}{9}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{18}

Površina spoljnog jednakostraničnog trougla stranice $a$ je:

P_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Od površine spoljnog trougla oduzimamo površine tri podudarna spoljašnja trougla:

P_{LMN}=P_{ABC}-3P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}-3\cdot\frac{a^2\sqrt3}{18}=a^2\sqrt3\left(\frac14-\frac16\right)=\frac{a^2\sqrt3}{12}

Površina upisanog trougla $LMN$ je $\frac{a^2\sqrt3}{12} .$

Započni učenje

Privatni časovi

28

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci