4714. Površina mnogougla

Neka su $a$ i $b$ katete, a $c$ hipotenuza. Težišna duž $t_a$ spaja teme $A$ sa sredinom stranice $a .$ Pošto je ta stranica kateta dužine $a ,$ njena polovina ima dužinu $\frac{a}{2} .$ Primenom Pitagorine teoreme na odgovarajući pravougli trougao dobijamo:

t_a^2=b^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

Na isti način, težišna duž $t_b$ spaja teme $B$ sa sredinom druge katete, pa ponovo primenjujemo Pitagorinu teoremu:

t_b^2=a^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2

Uvrštavanjem $t_a=7$ i $t_b=4$ dobijamo dve jednačine:

49=b^2+\frac{a^2}{4},\qquad16=a^2+\frac{b^2}{4}

Pomnožimo obe jednačine sa $4$ kako bismo uklonili razlomke:

196=a^2+4b^2,\qquad64=4a^2+b^2

Iz druge jednačine izrazimo $b^2 ,$ a zatim dobijenu vrednost uvrstimo u prvu jednačinu:

b^2=64-4a^2,\qquad196=a^2+4(64-4a^2)

Rešavanjem dobijamo kvadrate dužina obe katete:

196=256-15a^2\implies15a^2=60\implies a^2=4,\qquad b^2=64-4\cdot4=48

Na kraju primenjujemo Pitagorinu teoremu na početni pravougli trougao:

c^2=a^2+b^2=4+48=52\implies c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}