4705. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Neka su $d_1$ i $d_2$ dijagonale romba. Prema uslovu zadatka važi:

d_1 = 1\frac{1}{3} d_2 = \frac{4}{3} d_2

Površina romba se može izračunati preko dijagonala:

P = \frac{d_1 d_2}{2}

Zamenom poznatih vrednosti dobijamo:

150 = \frac{\frac{4}{3} d_2 \cdot d_2}{2}

Sređivanjem jednačine dobijamo:

150 = \frac{2}{3} d_2^2

Rešavamo po $d_2 :$

d_2^2 = 150 \cdot \frac{3}{2} = 225

Pošto dužina mora biti pozitivna:

d_2 = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}

Sada računamo $d_1 :$

d_1 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20 \text{ cm}

Na skici romba sa dijagonalama možemo uočiti da se one seku pod pravim uglom i polove se, formirajući četiri podudarna pravougla trougla sa katetama $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ i hipotenuzom $a .$

Da bismo našli visinu, prvo moramo izračunati stranicu romba $a .$ Koristimo Pitagorinu teoremu na jedan od tih pravouglih trouglova:

a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2

Zamenjujemo vrednosti dijagonala:

a^2 = \left(\frac{20}{2}\right)^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2

Računamo kvadrate:

a^2 = 10^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2 = 100 + \frac{225}{4}

Sabiramo:

a^2 = \frac{400 + 225}{4} = \frac{625}{4}

Stranica romba je:

a = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ cm}

Površina romba se takođe može izraziti preko stranice i visine:

P = a \cdot h

Zamenjujemo poznate vrednosti za površinu i stranicu:

150 = 12.5 \cdot h

Računamo visinu $h :$

h = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ cm}

16