4702. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Spuštanjem visine dobijamo pravougli trougao sa uglovima $30^\circ ,$ $60^\circ$ i $90^\circ .$ Kraća kateta je polovina hipotenuze, pa iznosi $6\text{ cm} .$ Visinu zatim računamo Pitagorinom teoremom:

h^2+6^2=12^2\Rightarrow h^2=108\Rightarrow h=6\sqrt3\text{ cm}

Dijagonale romba se međusobno polove, seku pod pravim uglom i dele uglove romba na polovine. Duža dijagonala zato deli ugao od $60^\circ$ na dva ugla od $30^\circ .$ U pravouglom trouglu koji grade polovine dijagonala i stranica romba, stranica romba je hipotenuza dužine $12\text{ cm} .$ Kateta naspram ugla od $30^\circ$ jednaka je polovini hipotenuze, pa je jedna polovina kraće dijagonale $6\text{ cm} .$ Drugu katetu, koja predstavlja polovinu duže dijagonale, dobijamo Pitagorinom teoremom:

\left(\frac{d}{2}\right)^2+6^2=12^2\Rightarrow\left(\frac{d}{2}\right)^2=108\Rightarrow\frac{d}{2}=6\sqrt3\text{ cm}

Zato je duža dijagonala:

d=2\cdot6\sqrt3=12\sqrt3\text{ cm}

Površinu romba računamo kao proizvod stranice i odgovarajuće visine:

P=ah=12\cdot6\sqrt3=72\sqrt3\text{ cm}^2

Visina romba je $6\sqrt3\text{ cm} ,$ duža dijagonala je $12\sqrt3\text{ cm} ,$ a površina je $72\sqrt3\text{ cm}^2 .$

13