4698. Površina mnogougla

Neka je $a_r$ stranica romba, a $a_k$ stranica kvadrata. Kako su im obimi jednaki, važi:

4a_r = 4a_k \implies a_r = a_k = a

Površina kvadrata stranice $a$ je:

P_k = a^2

Površina romba stranice $a$ i visine $h$ je $P_r = ah .$ Visina romba se može izraziti preko oštrog ugla $\alpha$ kao $h = a \sin \alpha ,$ pa je površina romba:

P_r = a \cdot a \sin \alpha = a^2 \sin \alpha

Prema uslovu zadatka, površina romba je dva puta manja od površine kvadrata:

P_r = \frac{P_k}{2}

Zamenom izraza za površine u prethodnu jednakost dobijamo:

a^2 \sin \alpha = \frac{a^2}{2}

Deljenjem jednačine sa $a^2$ (jer je dužina stranice $a > 0$ ) dobijamo:

\sin \alpha = \frac{1}{2}

Kako je $\alpha$ oštar ugao romba ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ), njegova mera je:

\alpha = 30^\circ

10