4690. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo površinu kvadrata stranice $c = 4 \text{ cm} .$

P_k = c^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2

Površina pravougaonika je jednaka površini kvadrata, pa važi:

P = a \cdot b = 16

Obim pravougaonika je $S = 20 \text{ cm} .$ Formula za obim je $S = 2a + 2b ,$ pa dobijamo:

2a + 2b = 20 \implies a + b = 10 \implies b = 10 - a

Zamenjujemo izraz za $b$ u jednačinu za površinu pravougaonika:

a(10 - a) = 16

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $a :$

10a - a^2 = 16 \implies a^2 - 10a + 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}

Dobijamo dva rešenja za stranicu $a :$

a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{4}{2} = 2

Za svako $a$ računamo odgovarajuće $b$ koristeći $b = 10 - a :$

b_1 = 10 - 8 = 2, \quad b_2 = 10 - 2 = 8

Zaključujemo da su dužine stranica pravougaonika $8 \text{ cm}$ i $2 \text{ cm} .$