4689. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Neka su $a$ i $b$ dužine stranica pravougaonika. Obim pravougaonika se računa po formuli $O = 2(a+b) ,$ a površina po formuli $P = ab .$

\begin{aligned} O &= 2(a+b) \\ P &= ab \end{aligned}

Zamenjujemo poznate vrednosti u formule:

\begin{aligned} 2(a+b) &= 7,4 \\ ab &= 3 \end{aligned}

Iz prve jednačine izražavamo zbir stranica:

a+b = 3,7

Izražavamo stranicu $b$ preko stranice $a :$

b = 3,7 - a

Zamenjujemo izraz za $b$ u jednačinu za površinu:

a(3,7 - a) = 3

Sređujemo jednačinu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $a :$

\begin{aligned} 3,7a - a^2 &= 3 \\ a^2 - 3,7a + 3 &= 0 \end{aligned}

Množimo jednačinu sa $10$ radi lakšeg računanja:

10a^2 - 37a + 30 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

\begin{aligned} a_{1,2} &= \frac{-(-37) \pm \sqrt{(-37)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 30}}{2 \cdot 10} \\ a_{1,2} &= \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 1200}}{20} \\ a_{1,2} &= \frac{37 \pm \sqrt{169}}{20} \\ a_{1,2} &= \frac{37 \pm 13}{20} \end{aligned}

Dobijamo dva moguća rešenja za stranicu $a :$

\begin{aligned} a_1 &= \frac{37 + 13}{20} = \frac{50}{20} = 2,5 \\ a_2 &= \frac{37 - 13}{20} = \frac{24}{20} = 1,2 \end{aligned}

Za svako rešenje računamo odgovarajuću vrednost stranice $b :$

\begin{aligned} b_1 &= 3,7 - 2,5 = 1,2 \\ b_2 &= 3,7 - 1,2 = 2,5 \end{aligned}

U oba slučaja dobijamo iste dužine stranica, pa zaključujemo da su stranice pravougaonika $2,5 \text{ m}$ i $1,2 \text{ m} .$