4782. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo temena trougla sa $A,B,C .$ Dve tangentne duži povučene iz istog temena na upisani krug jednake su. Neka su njihove dužine iz temena $A ,$ $B$ i $C$ redom $m ,$ $n$ i $p .$

Svaka stranica sastoji se od dve tangentne duži koje polaze iz njenih krajnjih temena. Ako standardno označimo $a=BC ,$ $b=CA$ i $c=AB ,$ onda je:

a=n+p,\qquad b=p+m,\qquad c=m+n

Poluobim $s$ računamo iz dobijenih dužina stranica:

s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{(n+p)+(p+m)+(m+n)}{2}=m+n+p

Razlike poluobima i odgovarajućih stranica zato su upravo tri date dužine:

s-a=(m+n+p)-(n+p)=m,\qquad s-b=n,\qquad s-c=p

Primenjujemo Heronovu formulu za površinu trougla i uvrštavamo izraze za $s ,$ $s-a ,$ $s-b$ i $s-c :$

P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(m+n+p)mnp}=\sqrt{mnp(m+n+p)}

Time je dokazano da je površina datog trougla $P=\sqrt{mnp(m+n+p)} .$

85