Poluprečnik kruga upisanog u trapez preko uglova

Označimo poluprečnik upisanog kruga sa $r ,$ a visinu trapeza sa $h .$ Paralelne osnovice $AB$ i $CD$ dodiruju krug, pa je njihovo rastojanje jednako prečniku kruga:

h=2r

Neka su $E$ i $F$ podnožja normala iz temena $D$ i $C$ na osnovicu $AB .$ Tada su $AED$ i $BFC$ pravougli trouglovi, a $DE=CF=h .$ Iz uglova koje kraci grade sa osnovicom dobijamo dužine krakova:

\sin\alpha=\frac{h}{AD}\implies AD=\frac{h}{\sin\alpha},\qquad \sin\beta=\frac{h}{BC}\implies BC=\frac{h}{\sin\beta}

Dve tangentne duži povučene iz istog temena na krug jednake su. Sabiranjem tih jednakih duži za sva četiri temena sledi da je zbir osnovica jednak zbiru krakova:

AB+CD=AD+BC=h\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)

Površinu trapeza zapisujemo pomoću zbira osnovica i visine, a zatim koristimo prethodnu jednakost:

Q=\frac{AB+CD}{2}h=\frac{h^2}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)

Pošto je $h=2r ,$ iz dobijenog izraza određujemo pozitivan poluprečnik:

Q=2r^2\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)=2r^2\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\implies r=\sqrt{\frac{Q\sin\alpha\sin\beta}{2(\sin\alpha+\sin\beta)}}

Poluprečnik kruga upisanog u trapez je $r=\sqrt{\frac{Q\sin\alpha\sin\beta}{2(\sin\alpha+\sin\beta)}} .$

Započni učenje

Privatni časovi

84

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci