PrethodniSledeći
4781.

84

TEKST ZADATKA

Oko kruga opisan je trapez ABCD ABCD čiji kraci grade sa većom od paralelnih stranica, AB, AB , oštre uglove α \alpha i β. \beta . Ako je površina trapeza Q, Q , odrediti poluprečnik kruga.

REŠENJE ZADATKA

Označimo poluprečnik upisanog kruga sa r, r , a visinu trapeza sa h. h . Paralelne osnovice AB AB i CD CD dodiruju krug, pa je njihovo rastojanje jednako prečniku kruga:

h=2rh=2r

Neka su E E i F F podnožja normala iz temena D D i C C na osnovicu AB. AB . Tada su AED AED i BFC BFC pravougli trouglovi, a DE=CF=h. DE=CF=h . Iz uglova koje kraci grade sa osnovicom dobijamo dužine krakova:

sin⁡α=hAD  ⟹  AD=hsin⁡α,sin⁡β=hBC  ⟹  BC=hsin⁡β\sin\alpha=\frac{h}{AD}\implies AD=\frac{h}{\sin\alpha},\qquad \sin\beta=\frac{h}{BC}\implies BC=\frac{h}{\sin\beta}

Dve tangentne duži povučene iz istog temena na krug jednake su. Sabiranjem tih jednakih duži za sva četiri temena sledi da je zbir osnovica jednak zbiru krakova:

AB+CD=AD+BC=h(1sin⁡α+1sin⁡β)AB+CD=AD+BC=h\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)

Površinu trapeza zapisujemo pomoću zbira osnovica i visine, a zatim koristimo prethodnu jednakost:

Q=AB+CD2h=h22(1sin⁡α+1sin⁡β)Q=\frac{AB+CD}{2}h=\frac{h^2}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)

Pošto je h=2r, h=2r , iz dobijenog izraza određujemo pozitivan poluprečnik:

Q=2r2(1sin⁡α+1sin⁡β)=2r2sin⁡α+sin⁡βsin⁡αsin⁡β  ⟹  r=Qsin⁡αsin⁡β2(sin⁡α+sin⁡β)Q=2r^2\left(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\sin\beta}\right)=2r^2\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\implies r=\sqrt{\frac{Q\sin\alpha\sin\beta}{2(\sin\alpha+\sin\beta)}}

Poluprečnik kruga upisanog u trapez je r=Qsin⁡αsin⁡β2(sin⁡α+sin⁡β). r=\sqrt{\frac{Q\sin\alpha\sin\beta}{2(\sin\alpha+\sin\beta)}} .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu