4780. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Neka je $O$ centar kruga i $r$ njegov poluprečnik. Krajeve prečnika označavamo tako da je oštar ugao $\angle AOC=30^\circ .$ Pošto su $C$ i $D$ suprotni krajevi istog prečnika, drugi centralni ugao je:

\angle AOD=180^\circ-30^\circ=150^\circ

Neka je $M$ sredina tetive $AC ,$ a $N$ sredina tetive $AD .$ Duži $OM$ i $ON$ su normalne na odgovarajuće tetive, pa su $AOM$ i $AON$ pravougli trouglovi. Te duži polove odgovarajuće centralne uglove, zato je:

\angle AOM=15^\circ,\qquad \angle AON=75^\circ

U pravouglim trouglovima $AOM$ i $AON$ hipotenuze su poluprečnici $OA=r .$ Pošto su $AM$ i $AN$ polovine tetiva, njihove dužine su:

AC=2AM=2r\sin15^\circ,\qquad AD=2AN=2r\sin75^\circ

Potrebne vrednosti sinusa dobijamo pomoću uglova od $45^\circ$ i $30^\circ ,$ pa računamo njihovu razliku:

\sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\qquad \sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\qquad \sin75^\circ-\sin15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}

Tetiva $AD$ je duža od tetive $AC .$ Uslov o njihovoj razlici zato daje jednačinu za poluprečnik:

AD-AC=2r\left(\sin75^\circ-\sin15^\circ\right)=2r\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=r\sqrt{2}=2\sqrt{2}\implies r=2

Površinu kruga računamo pomoću dobijenog poluprečnika:

P=r^2\pi=2^2\pi=4\pi

Površina datog kruga je $P=4\pi$ kvadratnih jedinica.

83