4779. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo visinu koja odgovara osnovici sa $h ,$ a dužinu svakog kraka sa $c .$ Visina jednakokrakog trougla polovi osnovicu, pa sa njenom polovinom dužine $15\ \text{cm}$ i krakom obrazuje pravougli trougao. Zato važi:

c^2=h^2+15^2=h^2+225

Poluobim trougla je $s=\frac{30+2c}{2}=15+c .$ Površinu možemo zapisati i pomoću osnovice i visine i pomoću poluprečnika $r=7,5\ \text{cm}$ upisanog kruga:

P=\frac{30h}{2}=15h,\qquad P=rs=7{,}5(15+c)

Izjednačavamo dva izraza za površinu i izražavamo krak preko visine:

15h=7{,}5(15+c)\implies 2h=15+c\implies c=2h-15

Dobijeni izraz za $c$ uvrštavamo u vezu iz pravouglog trougla. Visina mora biti pozitivna, pa odbacujemo vrednost $h=0 :$

(2h-15)^2=h^2+225\implies 4h^2-60h+225=h^2+225\implies 3h(h-20)=0\implies h=20\ \text{cm}

Sada površinu računamo pomoću osnovice i dobijene visine:

P=\frac{30\cdot20}{2}=300\ \text{cm}^2

Površina datog jednakokrakog trougla je $P=300\ \text{cm}^2 .$

82