Površina pravouglog trougla iz R = 5 i r = 2

Označimo katete pravouglog trougla sa $a$ i $b ,$ hipotenuzu sa $c ,$ poluobim sa $s ,$ a površinu sa $P .$ Površinu možemo zapisati pomoću kateta i pomoću poluprečnika opisanog kruga:

P=\frac{ab}{2},\qquad P=\frac{abc}{4R}

Izjednačavamo ova dva izraza. Pošto su katete pozitivne, možemo skratiti proizvod $ab$ i dobiti dužinu hipotenuze:

\frac{ab}{2}=\frac{abc}{4R}\implies2R=c\implies c=2\cdot5=10

Iz formule za površinu preko poluprečnika upisanog kruga i poluobima, uz $r=2 ,$ dobijamo vezu površine i zbira stranica:

P=rs=2\cdot\frac{a+b+c}{2}=a+b+c=a+b+10

Neka je $x=a+b .$ Pitagorina teorema daje $a^2+b^2=c^2=100 ,$ dok iz $P=ab/2$ sledi $2ab=4P .$ Zato kvadriranjem zbira kateta dobijamo:

x^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=100+4P

Pošto je $P=x+10 ,$ rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu. Zbir dužina kateta mora biti pozitivan, pa odbacujemo negativno rešenje:

x^2=100+4(x+10)\implies x^2-4x-140=0\implies(x-14)(x+10)=0\implies x=14

Uvrštavanjem pozitivnog zbira kateta u izraz $P=x+10$ dobijamo površinu trougla:

P=14+10=24

Površina pravouglog trougla je $\boxed{24}$ kvadratne jedinice.

Započni učenje

Privatni časovi

80

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci