PrethodniSledeći
4777.

80

TEKST ZADATKA

Neka su R=5 R = 5 i r=2 r = 2 poluprečnici opisanog i upisanog kruga datog pravouglog trougla. Naći površinu ovog trougla.

REŠENJE ZADATKA

Označimo katete pravouglog trougla sa a a i b, b , hipotenuzu sa c, c , poluobim sa s, s , a površinu sa P. P . Površinu možemo zapisati pomoću kateta i pomoću poluprečnika opisanog kruga:

P=ab2,P=abc4RP=\frac{ab}{2},\qquad P=\frac{abc}{4R}

Izjednačavamo ova dva izraza. Pošto su katete pozitivne, možemo skratiti proizvod ab ab i dobiti dužinu hipotenuze:

ab2=abc4R  ⟹  2R=c  ⟹  c=2⋅5=10\frac{ab}{2}=\frac{abc}{4R}\implies2R=c\implies c=2\cdot5=10

Iz formule za površinu preko poluprečnika upisanog kruga i poluobima, uz r=2, r=2 , dobijamo vezu površine i zbira stranica:

P=rs=2⋅a+b+c2=a+b+c=a+b+10P=rs=2\cdot\frac{a+b+c}{2}=a+b+c=a+b+10

Neka je x=a+b. x=a+b . Pitagorina teorema daje a2+b2=c2=100, a^2+b^2=c^2=100 , dok iz P=ab/2 P=ab/2 sledi 2ab=4P. 2ab=4P . Zato kvadriranjem zbira kateta dobijamo:

x2=(a+b)2=a2+b2+2ab=100+4Px^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=100+4P

Pošto je P=x+10, P=x+10 , rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu. Zbir dužina kateta mora biti pozitivan, pa odbacujemo negativno rešenje:

x2=100+4(x+10)  ⟹  x2−4x−140=0  ⟹  (x−14)(x+10)=0  ⟹  x=14x^2=100+4(x+10)\implies x^2-4x-140=0\implies(x-14)(x+10)=0\implies x=14

Uvrštavanjem pozitivnog zbira kateta u izraz P=x+10 P=x+10 dobijamo površinu trougla:

P=14+10=24P=14+10=24

Površina pravouglog trougla je 24 \boxed{24} kvadratne jedinice.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu