4776. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Neka je $O$ centar kruga. Centralni ugao nad jednom stranicom pravilnog osmougla iznosi $360^\circ/8=45^\circ .$ Dijagonala $A_1A_3$ obuhvata dve uzastopne stranice, pa joj odgovara centralni ugao:

\angle A_1OA_3=2\cdot45^\circ=90^\circ

Trougao $OA_1A_3$ je pravougli jednakokraki trougao sa katetama $OA_1=OA_3=5\ \text{cm} .$ Dijagonala $A_1A_3$ je njegova hipotenuza:

A_1A_3=\sqrt{OA_1^2+OA_3^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2\ \text{cm}

Dužima koje spajaju centar sa temenima osmougao delimo na osam podudarnih trouglova. Svaki ima dve stranice dužine $5\ \text{cm}$ i ugao između njih $45^\circ ,$ pa je njegova površina:

P_1=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin45^\circ=\frac{25}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{25\sqrt2}{4}\ \text{cm}^2

Površina celog osmougla jednaka je zbiru površina osam podudarnih trouglova:

P=8P_1=8\cdot\frac{25\sqrt2}{4}=50\sqrt2\ \text{cm}^2

Dužina dijagonale je $\boxed{A_1A_3=5\sqrt2\ \text{cm}} ,$ a površina osmougla je $\boxed{P=50\sqrt2\ \text{cm}^2} .$

79