4775. Površina kruga i njegovih delova

Označimo centre krugova sa $O_1$ i $O_2 ,$ a jednu presečnu tačku sa $X .$ Poluprečnici $O_1X$ i $O_2X$ normalni su na odgovarajuće tangente. Pošto su i tangente međusobno normalne, trougao $O_1XO_2$ je pravougli u temenu $X .$

O_1X=r_1=1\ \text{cm},\qquad O_2X=r_2=\sqrt3\ \text{cm}

Hipotenuza tog trougla je rastojanje centara. Stranice su u odnosu $1:\sqrt3:2 ,$ pa su uglovi kod centara $60^\circ$ i $30^\circ :$

O_1O_2=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2\ \text{cm},\qquad\angle XO_1O_2=60^\circ,\quad\angle XO_2O_1=30^\circ

Druga presečna tačka je simetrična u odnosu na duž $O_1O_2 .$ Zato zajedničku oblast ograničavaju kružni isečak kruga $k_1$ sa centralnim uglom $120^\circ$ i kružni isečak kruga $k_2$ sa centralnim uglom $60^\circ .$

2\cdot60^\circ=120^\circ,\qquad2\cdot30^\circ=60^\circ

Zbir površina ova dva kružna isečka je:

P_{\text{is}}=\frac{1^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}+\frac{(\sqrt3)^2\pi\cdot60^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{6}\ \text{cm}^2

Od zbira isečaka oduzimamo dva podudarna pravougla trougla sa katetama $1\ \text{cm}$ i $\sqrt3\ \text{cm} .$ Njihova ukupna površina je:

P_{\triangle}=2\cdot\frac{1\cdot\sqrt3}{2}=\sqrt3\ \text{cm}^2

Površina preseka krugova je $\boxed{\left(\dfrac{5\pi}{6}-\sqrt3\right)\ \text{cm}^2} .$

P=P_{\text{is}}-P_{\triangle}=\boxed{\left(\frac{5\pi}{6}-\sqrt3\right)\ \text{cm}^2}

78