4774. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo sa $A$ teme koje je centar kruga $k_2 ,$ a sa $O$ centar upisanog kruga $k_1 .$ Površinu jednakostraničnog trougla prvo zapisujemo preko stranice, a zatim preko poluobima $s=3a/2$ i poluprečnika $r_1$ upisanog kruga:

\frac{a^2\sqrt3}{4}=r_1\cdot\frac{3a}{2}\implies r_1=\frac{a\sqrt3}{6}

Visina jednakostraničnog trougla dobija se iz njegove površine. Centar $O$ je od naspramne stranice udaljen za $r_1 ,$ pa je dužina duži $AO$ jednaka razlici visine i tog poluprečnika:

\frac{ah}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}\implies h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad AO=h-r_1=\frac{a\sqrt3}{3}

Neka je $X$ jedna presečna tačka krugova. Tada su $OX=r_1=a\sqrt3/6$ i $AX=r_2=a/2 .$ Kvadrati ovih dužina pokazuju da je trougao $AOX$ pravougli u temenu $X :$

OX^2+AX^2=\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{3}=AO^2

Stranice trougla $AOX$ imaju odnos $OX:AX:AO=1:\sqrt3:2 ,$ pa su njegovi oštri uglovi $\angle AOX=60^\circ$ i $\angle OAX=30^\circ .$ Druga presečna tačka je simetrična u odnosu na $AO ,$ zato zajedničku oblast ograničavaju isečak kruga $k_1$ sa centralnim uglom $120^\circ$ i isečak kruga $k_2$ sa centralnim uglom $60^\circ .$

2\angle AOX=120^\circ,\qquad2\angle OAX=60^\circ

Računamo zbir površina ta dva kružna isečka:

P_{\text{is}}=\frac{r_1^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}+\frac{r_2^2\pi\cdot60^\circ}{360^\circ}=\frac{a^2\pi}{36}+\frac{a^2\pi}{24}=\frac{5a^2\pi}{72}

Od zbira isečaka treba oduzeti dva podudarna pravougla trougla čije su katete $OX=r_1$ i $AX=r_2 .$ Njihova ukupna površina je:

P_{\triangle}=2\cdot\frac{r_1r_2}{2}=r_1r_2=\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{12}

Površina preseka krugova jednaka je razlici dobijenih površina:

P=P_{\text{is}}-P_{\triangle}=\frac{5a^2\pi}{72}-\frac{a^2\sqrt3}{12}=\boxed{\frac{a^2(5\pi-6\sqrt3)}{72}}

Površina preseka krugova $k_1$ i $k_2$ je $\boxed{\dfrac{a^2(5\pi-6\sqrt3)}{72}} .$