4773. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo poluprečnik upisanog kruga sa $r .$ Iz njegove površine izražavamo kvadrat poluprečnika:

S=r^2\pi\implies r^2=\frac{S}{\pi}

Neka je $a$ stranica, $h$ visina, a $\alpha$ oštar ugao romba. Upisani krug dodiruje dve paralelne stranice romba, pa je rastojanje između njih jednako prečniku kruga, odnosno $h=2r .$ Iz formule za površinu romba dobijamo stranicu:

Q=ah=a\cdot2r\implies a=\frac{Q}{2r}

Površina romba može se zapisati i pomoću dve susedne stranice i ugla između njih. Uvrštavamo izraz za $a$ i zatim koristimo $r^2=S/\pi :$

Q=a^2\sin\alpha=\frac{Q^2}{4r^2}\sin\alpha\implies\sin\alpha=\frac{4r^2}{Q}=\frac{4S}{\pi Q}

Pošto se traži oštar ugao, biramo vrednost između $0^\circ$ i $90^\circ .$ Zato je njegova mera:

\alpha=\arcsin\left(\frac{4S}{\pi Q}\right)

Oštar ugao romba je $\boxed{\alpha=\arcsin\left(\frac{4S}{\pi Q}\right)} .$

76