4772. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo temena trapeza sa $A,B,C,D ,$ tako da je duža osnovica $AB=12\ \text{cm} ,$ kraća osnovica $CD=6\ \text{cm} ,$ a kraci su $AD=BC=6\ \text{cm} .$ Polovina razlike osnovica je kateta pravouglog trougla uz svaki krak, pa je visina trapeza:

x=\frac{12-6}{2}=3\ \text{cm},\qquad h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3\ \text{cm}

Neka je $M$ sredina duže osnovice $AB ,$ a $N$ sredina kraće osnovice $CD .$ Centar $O$ opisanog kruga leži na osi simetrije $MN .$ Označimo usmereno rastojanje $MO=t .$ Tada je $AM=6\ \text{cm} ,$ dok je rastojanje temena $D$ od prave $MN$ jednako $3\ \text{cm} .$

OA^2=AM^2+MO^2=36+t^2,\qquad OD^2=3^2+(h-t)^2=9+(3\sqrt3-t)^2

Pošto su sva temena na opisanom krugu, poluprečnici $OA$ i $OD$ su jednaki. Izjednačavanjem njihovih kvadrata određujemo položaj centra:

36+t^2=9+(3\sqrt3-t)^2=36-6\sqrt3t+t^2\implies t=0

Dakle, centar kruga je sredina duže osnovice, pa je poluprečnik $r=OA=6\ \text{cm} .$ Primenjujemo formulu za površinu kruga:

P=r^2\pi=6^2\pi=36\pi\ \text{cm}^2

Površina opisanog kruga je $\boxed{36\pi\ \text{cm}^2} .$

75