4771. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Označimo trougao sa $ABC ,$ tako da je $BC=a=5\ \text{cm} ,$ $CA=b=6\ \text{cm}$ i $AB=c=7\ \text{cm} .$ Centar kruga označimo sa $D .$ Pošto je $D$ podjednako udaljen od stranica $CA$ i $CB ,$ duž $CD$ deli ugao kod temena $C$ na dva jednaka dela.

Duž koja deli ugao trougla na dva jednaka dela deli naspramnu stranicu u odnosu naleglih stranica. Zato je:

\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\frac{6}{5},\qquad AD+DB=7\qquad\Longrightarrow\qquad AD=\frac{6}{11}\cdot7=\frac{42}{11}\ \text{cm}

Poluobim trougla je $s=9\ \text{cm} .$ Heronovom formulom računamo njegovu površinu:

s=\frac{5+6+7}{2}=9\ \text{cm},\qquad P_{ABC}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\ \text{cm}^2

Trouglovi $ACD$ i $ABC$ imaju osnovice $AD$ i $AB$ na istoj pravoj i istu odgovarajuću visinu iz temena $C .$ Zato se njihove površine odnose kao te osnovice:

P_{ACD}=\frac{AD}{AB}P_{ABC}=\frac{42/11}{7}\cdot6\sqrt{6}=\frac{6}{11}\cdot6\sqrt{6}=\frac{36\sqrt{6}}{11}\ \text{cm}^2

Neka je $r$ poluprečnik traženog kruga. Pošto krug dodiruje stranicu $AC ,$ normalno rastojanje centra $D$ od te stranice jednako je $r .$ Zato površinu trougla $ACD$ možemo zapisati preko osnovice $AC=6\ \text{cm}$ i visine $r :$

P_{ACD}=\frac{AC\cdot r}{2}=\frac{6r}{2}=3r

Izjednačavanjem dva izraza za površinu trougla $ACD$ dobijamo poluprečnik kruga:

3r=\frac{36\sqrt{6}}{11}\qquad\Longrightarrow\qquad r=\frac{12\sqrt{6}}{11}\ \text{cm}

Površinu kruga računamo po formuli $P=\pi r^2 :$

P=\pi\left(\frac{12\sqrt{6}}{11}\right)^2=\frac{144\cdot6}{121}\pi=\frac{864\pi}{121}\ \text{cm}^2

Površina traženog kruga je $\frac{864\pi}{121}\ \text{cm}^2 .$

74