4760. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Normala iz centra na tetivu polovi i tetivu i centralni ugao. Dobijeni pravougli trougao ima ugao $60^\circ ,$ hipotenuzu $r$ i katetu uz taj ugao dužine $3\ \text{cm} .$

\cos60^\circ=\frac{3}{r} \implies \frac12=\frac3r \implies r=6\ \text{cm}

Kružni odsečak je deo isečka koji ostane kada se oduzme trougao obrazovan dvama poluprečnicima i tetivom. Površinu isečka računamo za ugao od $120^\circ .$

P_{\text{isečka}}=\frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}=\frac{6^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}=12\pi\ \text{cm}^2

Površinu trougla sa stranicama $r$ i $r$ i zahvaćenim uglom $120^\circ$ računamo formulom iz gradiva za trougao.

P_{\triangle}=\frac12r^2\sin120^\circ=\frac12\cdot36\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\sqrt3\ \text{cm}^2

Oduzimanjem površine trougla od površine isečka dobijamo površinu kružnog odsečka.

P_{\text{odsečka}}=P_{\text{isečka}}-P_{\triangle}=12\pi-9\sqrt3\ \text{cm}^2

Površina kružnog odsečka je $\boxed{(12\pi-9\sqrt3)\ \text{cm}^2} .$

65