3980. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma $A(x)$ polinomom $B(x) :$ $A(x) = 8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2 ,$ $B(x) = 2x^2 - 3x + 5 .$

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo deljenje polinoma:

(8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) : (2x^2 - 3x + 5)

Delimo prvi član deljenika $8x^4$ sa prvim članom delioca $2x^2 .$ Dobijamo prvi član količnika $4x^2 .$

\frac{8x^4}{2x^2} = 4x^2

Množimo dobijeni član količnika $4x^2$ sa deliocem $2x^2 - 3x + 5$ i oduzimamo od deljenika:

\begin{aligned} &(8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) - (4x^2 \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) - (8x^4 - 12x^3 + 20x^2) \\ &= 2x^3 - 5x^2 + 13x - 2 \end{aligned}

Sada delimo prvi član dobijenog polinoma $2x^3$ sa prvim članom delioca $2x^2 .$ Dobijamo sledeći član količnika $x .$

\frac{2x^3}{2x^2} = x

Množimo $x$ sa deliocem i oduzimamo od trenutnog polinoma:

\begin{aligned} &(2x^3 - 5x^2 + 13x - 2) - (x \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (2x^3 - 5x^2 + 13x - 2) - (2x^3 - 3x^2 + 5x) \\ &= -2x^2 + 8x - 2 \end{aligned}

Delimo prvi član dobijenog polinoma $-2x^2$ sa prvim članom delioca $2x^2 .$ Dobijamo poslednji član količnika $-1 .$

\frac{-2x^2}{2x^2} = -1

Množimo $-1$ sa deliocem i oduzimamo:

\begin{aligned} &(-2x^2 + 8x - 2) - (-1 \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (-2x^2 + 8x - 2) - (-2x^2 + 3x - 5) \\ &= 5x + 3 \end{aligned}

Stepen dobijenog ostatka $5x + 3$ je manji od stepena delioca $2x^2 - 3x + 5 ,$ pa je postupak deljenja završen. Zapisujemo količnik $Q(x)$ i ostatak $R(x) .$

\begin{aligned} Q(x) &= 4x^2 + x - 1 \\ R(x) &= 5x + 3 \end{aligned}

603.z