3980.

603.z

TEKST ZADATKA

Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma A(x) A(x) polinomom B(x): B(x) : A(x)=8x4−10x3+15x2+13x−2, A(x) = 8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2 , B(x)=2x2−3x+5. B(x) = 2x^2 - 3x + 5 .

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo deljenje polinoma:

(8x4−10x3+15x2+13x−2):(2x2−3x+5)(8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) : (2x^2 - 3x + 5)

Delimo prvi član deljenika 8x4 8x^4 sa prvim članom delioca 2x2. 2x^2 . Dobijamo prvi član količnika 4x2. 4x^2 .

8x42x2=4x2\frac{8x^4}{2x^2} = 4x^2

Množimo dobijeni član količnika 4x2 4x^2 sa deliocem 2x2−3x+5 2x^2 - 3x + 5 i oduzimamo od deljenika:

(8x4−10x3+15x2+13x−2)−(4x2⋅(2x2−3x+5))=(8x4−10x3+15x2+13x−2)−(8x4−12x3+20x2)=2x3−5x2+13x−2\begin{aligned} &(8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) - (4x^2 \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (8x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 13x - 2) - (8x^4 - 12x^3 + 20x^2) \\ &= 2x^3 - 5x^2 + 13x - 2 \end{aligned}

Sada delimo prvi član dobijenog polinoma 2x3 2x^3 sa prvim članom delioca 2x2. 2x^2 . Dobijamo sledeći član količnika x. x .

2x32x2=x\frac{2x^3}{2x^2} = x

Množimo x x sa deliocem i oduzimamo od trenutnog polinoma:

(2x3−5x2+13x−2)−(x⋅(2x2−3x+5))=(2x3−5x2+13x−2)−(2x3−3x2+5x)=−2x2+8x−2\begin{aligned} &(2x^3 - 5x^2 + 13x - 2) - (x \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (2x^3 - 5x^2 + 13x - 2) - (2x^3 - 3x^2 + 5x) \\ &= -2x^2 + 8x - 2 \end{aligned}

Delimo prvi član dobijenog polinoma −2x2 -2x^2 sa prvim članom delioca 2x2. 2x^2 . Dobijamo poslednji član količnika −1. -1 .

−2x22x2=−1\frac{-2x^2}{2x^2} = -1

Množimo −1 -1 sa deliocem i oduzimamo:

(−2x2+8x−2)−(−1⋅(2x2−3x+5))=(−2x2+8x−2)−(−2x2+3x−5)=5x+3\begin{aligned} &(-2x^2 + 8x - 2) - (-1 \cdot (2x^2 - 3x + 5)) \\ &= (-2x^2 + 8x - 2) - (-2x^2 + 3x - 5) \\ &= 5x + 3 \end{aligned}

Stepen dobijenog ostatka 5x+3 5x + 3 je manji od stepena delioca 2x2−3x+5, 2x^2 - 3x + 5 , pa je postupak deljenja završen. Zapisujemo količnik Q(x) Q(x) i ostatak R(x). R(x) .

Q(x)=4x2+x−1R(x)=5x+3\begin{aligned} Q(x) &= 4x^2 + x - 1 \\ R(x) &= 5x + 3 \end{aligned}