2249. Pojam i svojstva logaritma

Primetimo vezu između brojeva 2 i 5 u dekadnom logaritmu. Kako je $2 \cdot 5 = 10 ,$ možemo iskoristiti osobinu logaritma proizvoda:

\lg 10 = \lg (2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5

Znamo da je dekadni logaritam broja 10 jednak 1 ( $\lg 10 = 1$ ). Označimo tražene vrednosti sa $x = \lg 2$ i $y = \lg 5 .$ Na osnovu prethodnog koraka i uslova zadatka, dobijamo sistem jednačina:

\begin{cases} x + y = 1 \\ x \cdot y = a \end{cases}

Iz prve jednačine izrazimo jednu promenljivu preko druge, na primer $y = 1 - x ,$ i zamenimo u drugu jednačinu:

x(1 - x) = a \implies x - x^2 = a \implies x^2 - x + a = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $x$ koristeći formulu za korene kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{2}

Pošto su $\lg 2$ i $\lg 5$ simetrični u sistemu jednačina, a znamo da je $2 < 5 ,$ sledi da je $\lg 2 < \lg 5$ jer je logaritamska funkcija sa osnovom 10 rastuća. Dakle, manja vrednost odgovara $\lg 2 ,$ a veća $\lg 5 :$

\lg 2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{2}, \quad \lg 5 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{2}

506.j