2242.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je 5lg⁡2020lg⁡5=1. \frac{5^{\lg 20}}{20^{\lg 5}} = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost, transformisaćemo levu stranu izraza. Primetimo da se u izrazu pojavljuju dekadni logaritmi (osnova 10). Iskoristićemo identitet alog⁡cb=blog⁡ca. a^{\log_c b} = b^{\log_c a} . Da bismo to pokazali, logaritmujemo obe strane za osnovu c: c :

log⁡c(alog⁡cb)=log⁡cb⋅log⁡ca\log_c(a^{\log_c b}) = \log_c b \cdot \log_c a

Slično, za desnu stranu identiteta važi:

log⁡c(blog⁡ca)=log⁡ca⋅log⁡cb\log_c(b^{\log_c a}) = \log_c a \cdot \log_c b

Pošto su logaritmi strana jednaki, važi opšte pravilo:

alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b} = b^{\log_c a}

Primenimo ovo pravilo na brojilac našeg izraza 5lg⁡20, 5^{\lg 20} , gde je a=5, a = 5 , b=20 b = 20 i osnova c=10: c = 10 :

5lg⁡20=20lg⁡55^{\lg 20} = 20^{\lg 5}

Sada zamenimo dobijenu vrednost brojioca u početni razlomak:

5lg⁡2020lg⁡5=20lg⁡520lg⁡5\frac{5^{\lg 20}}{20^{\lg 5}} = \frac{20^{\lg 5}}{20^{\lg 5}}

Pošto su brojilac i imenilac identični i različiti od nule, njihov količnik je 1:

20lg⁡520lg⁡5=1\frac{20^{\lg 5}}{20^{\lg 5}} = 1

Ovim je dokaz završen.

1=11 = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti