2228. Pojam i svojstva logaritma

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati oba logaritma koristeći pravilo za logaritam proizvoda $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ i osobinu $\log_a a = 1 .$ Izrazimo brojeve u argumentu preko osnove logaritma.

Transformišemo prvi broj $\log_{20} 80 :$

\log_{20} 80 = \log_{20} (20 \cdot 4) = \log_{20} 20 + \log_{20} 4 = 1 + \log_{20} 4

Transformišemo drugi broj $\log_{80} 640 :$

\log_{80} 640 = \log_{80} (80 \cdot 8) = \log_{80} 80 + \log_{80} 8 = 1 + \log_{80} 8

Sada upoređujemo dobijene izraze. Pošto oba imaju sabirak 1, dovoljno je uporediti $\log_{20} 4$ i $\log_{80} 8 .$ Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} :$

\log_{20} 4 = \frac{1}{\log_4 20} = \frac{1}{\log_4 (4 \cdot 5)} = \frac{1}{1 + \log_4 5}

Isto radimo za drugi izraz:

\log_{80} 8 = \frac{1}{\log_8 80} = \frac{1}{\log_8 (8 \cdot 10)} = \frac{1}{1 + \log_8 10}

Sada upoređujemo imenioce $1 + \log_4 5$ i $1 + \log_8 10 .$ Uporedimo $\log_4 5$ i $\log_8 10$ tako što ćemo ih svesti na istu osnovu 2 koristeći pravilo $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :$

\begin{aligned} \log_4 5 &= \log_{2^2} 5 = \frac{1}{2} \log_2 5 \\ \log_8 10 &= \log_{2^3} 10 = \frac{1}{3} \log_2 10 = \frac{1}{3} (\log_2 2 + \log_2 5) = \frac{1}{3} (1 + \log_2 5) \end{aligned}

Ispitujemo razliku ova dva izraza:

\frac{1}{2} \log_2 5 - \frac{1}{3} (1 + \log_2 5) = \frac{3 \log_2 5 - 2 - 2 \log_2 5}{6} = \frac{\log_2 5 - 2}{6}

Pošto je $5 > 2^2 = 4 ,$ sledi da je $\log_2 5 > 2 ,$ pa je razlika pozitivna. To znači:

\log_4 5 > \log_8 10 \implies 1 + \log_4 5 > 1 + \log_8 10

Kada upoređujemo recipročne vrednosti pozitivnih brojeva, znak nejednakosti se okreće:

\frac{1}{1 + \log_4 5} < \frac{1}{1 + \log_8 10}

Vraćajući se na početne izraze, zaključujemo:

1 + \log_{20} 4 < 1 + \log_{80} 8 \implies \log_{20} 80 < \log_{80} 640

504.d