PrethodniSledeći
2241.

504.a

TEKST ZADATKA

Odrediti koji je od dva data broja veći: log⁡3108 \log_3 108 ili log⁡5375. \log_5 375 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati prvi logaritam log⁡3108 \log_3 108 koristeći pravilo za logaritam proizvoda log⁡axy=log⁡ax+log⁡ay. \log_a xy = \log_a x + \log_a y . Broj 108 možemo napisati kao 27⋅4, 27 \cdot 4 , odnosno 33⋅4. 3^3 \cdot 4 .

log⁡3108=log⁡3(27⋅4)=log⁡327+log⁡34\log_3 108 = \log_3 (27 \cdot 4) = \log_3 27 + \log_3 4

Kako je 27=33, 27 = 3^3 , koristimo osobinu log⁡aas=s. \log_a a^s = s .

log⁡327+log⁡34=3+log⁡34\log_3 27 + \log_3 4 = 3 + \log_3 4

Sada ćemo transformisati drugi logaritam log⁡5375. \log_5 375 . Broj 375 možemo napisati kao 125⋅3, 125 \cdot 3 , odnosno 53⋅3. 5^3 \cdot 3 .

log⁡5375=log⁡5(125⋅3)=log⁡5125+log⁡53\log_5 375 = \log_5 (125 \cdot 3) = \log_5 125 + \log_5 3

Kako je 125=53, 125 = 5^3 , dobijamo:

log⁡5125+log⁡53=3+log⁡53\log_5 125 + \log_5 3 = 3 + \log_5 3

Sada upoređujemo dobijene izraze 3+log⁡34 3 + \log_3 4 i 3+log⁡53. 3 + \log_5 3 . To je ekvivalentno upoređivanju log⁡34 \log_3 4 i log⁡53. \log_5 3 .

Primetimo da je log⁡34>log⁡33=1, \log_3 4 > \log_3 3 = 1 , jer je osnova veća od 1 i 4>3. 4 > 3 . Sa druge strane, log⁡53<log⁡55=1, \log_5 3 < \log_5 5 = 1 , jer je 3<5. 3 < 5 .

log⁡34>1>log⁡53\log_3 4 > 1 > \log_5 3

Pošto je log⁡34>log⁡53, \log_3 4 > \log_5 3 , sledi da je i početni prvi izraz veći od drugog.

3+log⁡34>3+log⁡53  ⟹  log⁡3108>log⁡53753 + \log_3 4 > 3 + \log_5 3 \implies \log_3 108 > \log_5 375

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu