2238. Pojam i svojstva logaritma

Prvo ćemo transformisati dati podatak $\log_{12} 2 = a$ koristeći osobinu za recipročnu vrednost logaritma $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} .$

\log_{12} 2 = a \implies \frac{1}{\log_2 12} = a \implies \log_2 12 = \frac{1}{a}

Sada ćemo broj 12 rastaviti na činioce unutar logaritma i primeniti pravilo za logaritam proizvoda $\log_a xy = \log_a x + \log_a y .$

\log_2 (2^2 \cdot 3) = \frac{1}{a} \\ \log_2 2^2 + \log_2 3 = \frac{1}{a} \\ 2 \log_2 2 + \log_2 3 = \frac{1}{a}

Kako je $\log_2 2 = 1 ,$ izražavamo $\log_2 3$ preko parametra $a .$

2 + \log_2 3 = \frac{1}{a} \implies \log_2 3 = \frac{1}{a} - 2 = \frac{1 - 2a}{a}

Sada prelazimo na izraz koji treba izračunati: $\log_6 16 .$ Primenjujemo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ i biramo osnovu 2.

\log_6 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 6}

Transformišemo brojilac i imenilac koristeći stepenovanje i pravilo za logaritam proizvoda.

\log_6 16 = \frac{\log_2 2^4}{\log_2 (2 \cdot 3)} = \frac{4 \log_2 2}{\log_2 2 + \log_2 3}

Zamenjujemo poznate vrednosti $\log_2 2 = 1$ i $\log_2 3 = \frac{1 - 2a}{a}$ u izraz.

\log_6 16 = \frac{4}{1 + \frac{1 - 2a}{a}}

Sređujemo dvojni razlomak u imeniocu i dobijamo konačan rezultat.

\log_6 16 = \frac{4}{\frac{a + 1 - 2a}{a}} = \frac{4}{\frac{1 - a}{a}} = \frac{4a}{1 - a}

506.d