2238.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza log⁡616, \log_6 16 , ako je poznato da je log⁡122=a. \log_{12} 2 = a .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati dati podatak log⁡122=a \log_{12} 2 = a koristeći osobinu za recipročnu vrednost logaritma log⁡ba=1log⁡ab. \log_b a = \frac{1}{\log_a b} .

log⁡122=a  ⟹  1log⁡212=a  ⟹  log⁡212=1a\log_{12} 2 = a \implies \frac{1}{\log_2 12} = a \implies \log_2 12 = \frac{1}{a}

Sada ćemo broj 12 rastaviti na činioce unutar logaritma i primeniti pravilo za logaritam proizvoda log⁡axy=log⁡ax+log⁡ay. \log_a xy = \log_a x + \log_a y .

log⁡2(22⋅3)=1alog⁡222+log⁡23=1a2log⁡22+log⁡23=1a\log_2 (2^2 \cdot 3) = \frac{1}{a} \\ \log_2 2^2 + \log_2 3 = \frac{1}{a} \\ 2 \log_2 2 + \log_2 3 = \frac{1}{a}

Kako je log⁡22=1, \log_2 2 = 1 , izražavamo log⁡23 \log_2 3 preko parametra a. a .

2+log⁡23=1a  ⟹  log⁡23=1a−2=1−2aa2 + \log_2 3 = \frac{1}{a} \implies \log_2 3 = \frac{1}{a} - 2 = \frac{1 - 2a}{a}

Sada prelazimo na izraz koji treba izračunati: log⁡616. \log_6 16 . Primenjujemo pravilo za promenu osnove logaritma log⁡ab=log⁡cblog⁡ca \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} i biramo osnovu 2.

log⁡616=log⁡216log⁡26\log_6 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 6}

Transformišemo brojilac i imenilac koristeći stepenovanje i pravilo za logaritam proizvoda.

log⁡616=log⁡224log⁡2(2⋅3)=4log⁡22log⁡22+log⁡23\log_6 16 = \frac{\log_2 2^4}{\log_2 (2 \cdot 3)} = \frac{4 \log_2 2}{\log_2 2 + \log_2 3}

Zamenjujemo poznate vrednosti log⁡22=1 \log_2 2 = 1 i log⁡23=1−2aa \log_2 3 = \frac{1 - 2a}{a} u izraz.

log⁡616=41+1−2aa\log_6 16 = \frac{4}{1 + \frac{1 - 2a}{a}}

Sređujemo dvojni razlomak u imeniocu i dobijamo konačan rezultat.

log⁡616=4a+1−2aa=41−aa=4a1−a\log_6 16 = \frac{4}{\frac{a + 1 - 2a}{a}} = \frac{4}{\frac{1 - a}{a}} = \frac{4a}{1 - a}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti