2237.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Izračunati (bez upotrebe računskih pomagala) vrednost sledećeg izraza:

((log⁡32)−1−extlog20,75+extlog162)−32((\log_3 2)^{-1} - ext{log}_2 0,75 + ext{log}_{16} 2)^{-\frac{3}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati svaki sabirak unutar zagrade koristeći osobine logaritama. Za prvi član koristimo osobinu log⁡ba=1log⁡ab: \log_b a = \frac{1}{\log_a b} :

(log⁡32)−1=1log⁡32=log⁡23(\log_3 2)^{-1} = \frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3

Drugi član transformišemo tako što decimalni broj 0,75 0,75 zapišemo kao razlomak 34, \frac{3}{4} , a zatim koristimo osobinu logaritma količnika log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay: \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y :

log⁡20,75=log⁡234=log⁡23−log⁡24=log⁡23−log⁡222=log⁡23−2\log_2 0,75 = \log_2 \frac{3}{4} = \log_2 3 - \log_2 4 = \log_2 3 - \log_2 2^2 = \log_2 3 - 2

Treći član transformišemo koristeći osobinu log⁡asx=1slog⁡ax, \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x , gde je 16=24: 16 = 2^4 :

log⁡162=log⁡242=14log⁡22=14⋅1=14\log_{16} 2 = \log_{2^4} 2 = \frac{1}{4} \log_2 2 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz unutar zagrade:

log⁡23−(log⁡23−2)+14\log_2 3 - (\log_2 3 - 2) + \frac{1}{4}

Sređujemo izraz unutar zagrade:

log⁡23−log⁡23+2+14=2+14=8+14=94\log_2 3 - \log_2 3 + 2 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}

Sada primenjujemo spoljni stepen −32 -\frac{3}{2} na dobijeni rezultat:

(94)−32=(49)32\left( \frac{9}{4} \right)^{-\frac{3}{2}} = \left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{3}{2}}

Računamo vrednost stepena koristeći koren i stepenovanje:

(49)32=(49)3=(49)3=(23)3=827\left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\left( \frac{4}{9} \right)^3} = \left( \sqrt{\frac{4}{9}} \right)^3 = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti