2235. Pojam i svojstva logaritma

Primetimo da su dati uslovi izraženi preko logaritma sa osnovom 14. Zbog toga ćemo traženi logaritam $\log_{35} 28$ transformisati koristeći formulu za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} ,$ birajući novu osnovu $c = 14 .$

\log_{35} 28 = \frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35}

Sada ćemo brojeve u argumentima logaritama, 28 i 35, rastaviti na činioce koji se pojavljuju u uslovima zadatka (7, 5 i osnova 14).

28 = 14 \cdot 2, \quad 35 = 7 \cdot 5

Zamenimo ove vrednosti u izraz i primenimo pravilo za logaritam proizvoda $\log_a xy = \log_a x + \log_a y .$

\frac{\log_{14} (14 \cdot 2)}{\log_{14} (7 \cdot 5)} = \frac{\log_{14} 14 + \log_{14} 2}{\log_{14} 7 + \log_{14} 5}

Znamo da je $\log_{14} 14 = 1 ,$ $\log_{14} 7 = a$ i $\log_{14} 5 = b .$ Potrebno je još da izrazimo $\log_{14} 2$ preko $a .$ Kako je $2 = \frac{14}{7} ,$ koristimo pravilo za logaritam količnika.

\log_{14} 2 = \log_{14} \frac{14}{7} = \log_{14} 14 - \log_{14} 7 = 1 - a

Sada sve poznate vrednosti uvrštavamo u početni izraz.

\log_{35} 28 = \frac{1 + (1 - a)}{a + b}

Sređivanjem brojioca dobijamo konačan rezultat.

\log_{35} 28 = \frac{2 - a}{a + b}

506.e