2232. Pojam i svojstva logaritma

Prvo ćemo transformisati prvi sabirak u zagradi. Koristimo pravilo stepenovanja $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} :$

81^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{4}\log_9 4}}

Računamo vrednosti u brojiocu i imeniocu. Znamo da je $81 = 3^4$ i $81 = 9^2 :$

81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3 \\ 81^{\frac{1}{4}\log_9 4} = (9^2)^{\frac{1}{4}\log_9 4} = 9^{\frac{1}{2}\log_9 4}

Primenjujemo osobinu $s \log_a x = \log_a x^s$ i osnovni logaritamski identitet $a^{\log_a b} = b :$

9^{\log_9 4^{\frac{1}{2}}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2

Dakle, prvi sabirak je:

\frac{3}{2}

Sada transformišemo drugi sabirak u zagradi koristeći $25 = 5^2 ,$ $125 = 5^3$ i osobinu $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :$

25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 8} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3} \log_5 8} = 5^{\frac{2}{3} \log_5 8}

Ponovo koristimo osobinu stepena logaritma i identitet $a^{\log_a b} = b :$

5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4

Sada transformišemo činilac van zagrade koristeći $49 = 7^2 :$

49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 2^2 = 4

Vraćamo dobijene vrednosti u početni izraz i računamo konačan rezultat:

(\frac{3}{2} + 4) \cdot 4 = (\frac{3+8}{2}) \cdot 4 = \frac{11}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 2 = 22

2232.Pojam i svojstva logaritma