Dokaz: b na log c jednako c na log b

Krenimo od leve strane jednakosti i primenimo osnovni logaritamski identitet $b = a^{\log_a b} .$

b^{\log_a c} = (a^{\log_a b})^{\log_a c}

Primenom pravila za stepenovanje stepena $(x^y)^z = x^{y \cdot z}$ dobijamo:

(a^{\log_a b})^{\log_a c} = a^{\log_a b \cdot \log_a c}

Zbog komutativnosti množenja, redosled činilaca u izložiocu možemo zameniti:

a^{\log_a b \cdot \log_a c} = a^{\log_a c \cdot \log_a b}

Sada izraz možemo ponovo zapisati kao stepen stepena:

a^{\log_a c \cdot \log_a b} = (a^{\log_a c})^{\log_a b}

Ponovnom primenom osnovnog logaritamskog identiteta $a^{\log_a c} = c$ dobijamo desnu stranu jednakosti:

(a^{\log_a c})^{\log_a b} = c^{\log_a b}

Time smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je dokaz završen.

b^{\log_a c} = c^{\log_a b}

510