Dokaz identiteta i uslovi za x i proizvod ab

Da bi izraz na desnoj strani bio definisan, osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1. Pošto je dato $a > 0$ i $b > 0 ,$ sledi da je $ab > 0 .$ Uslov za osnovu je:

ab \neq 1

Da bismo dokazali identitet, transformisaćemo levu stranu jednakosti. Preći ćemo na logaritme sa osnovom $x .$ Da bi ovo bilo moguće, mora važiti:

x \neq 1

Koristimo osobinu promene osnove logaritma $\log_c d = \frac{1}{\log_d c}$ na izraz na levoj strani:

\frac{\log_a x - \log_b x}{\log_a x + \log_b x} = \frac{\frac{1}{\log_x a} - \frac{1}{\log_x b}}{\frac{1}{\log_x a} + \frac{1}{\log_x b}}

Svodićemo razlomke u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac:

\frac{\frac{\log_x b - \log_x a}{\log_x a \log_x b}}{\frac{\log_x b + \log_x a}{\log_x a \log_x b}}

Skraćujemo zajednički imenilac $\log_x a \log_x b :$

\frac{\log_x b - \log_x a}{\log_x b + \log_x a}

Primenjujemo osnovne osobine logaritama za razliku i zbir logaritama sa istom osnovom:

\frac{\log_x \left(\frac{b}{a}\right)}{\log_x (ab)}

Primenjujemo formulu za promenu osnove logaritma $\frac{\log_c M}{\log_c N} = \log_N M :$

\log_{ab} \left(\frac{b}{a}\right)

Ovim smo dokazali traženi identitet. Uslovi pod kojima on važi, pored onih datih u zadatku, su:

x \neq 1 \quad \text{i} \quad ab \neq 1

Započni učenje

Online časovi

511

Beleške