2200.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Ako je a>0, a > 0 , b>0, b > 0 , a≠1, a \neq 1 , b≠1, b \neq 1 , x>0, x > 0 , dokazati da je log⁡ax−log⁡bxlog⁡ax+log⁡bx=log⁡ab(ba), \frac{\log_a x - \log_b x}{\log_a x + \log_b x} = \log_{ab} \left(\frac{b}{a}\right) , pod izvesnim uslovima. Koji su to uslovi?

REŠENJE ZADATKA

Da bi izraz na desnoj strani bio definisan, osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1. Pošto je dato a>0 a > 0 i b>0, b > 0 , sledi da je ab>0. ab > 0 . Uslov za osnovu je:

ab≠1ab \neq 1

Da bismo dokazali identitet, transformisaćemo levu stranu jednakosti. Preći ćemo na logaritme sa osnovom x. x . Da bi ovo bilo moguće, mora važiti:

x≠1x \neq 1

Koristimo osobinu promene osnove logaritma log⁡cd=1log⁡dc \log_c d = \frac{1}{\log_d c} na izraz na levoj strani:

log⁡ax−log⁡bxlog⁡ax+log⁡bx=1log⁡xa−1log⁡xb1log⁡xa+1log⁡xb\frac{\log_a x - \log_b x}{\log_a x + \log_b x} = \frac{\frac{1}{\log_x a} - \frac{1}{\log_x b}}{\frac{1}{\log_x a} + \frac{1}{\log_x b}}

Svodićemo razlomke u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac:

log⁡xb−log⁡xalog⁡xalog⁡xblog⁡xb+log⁡xalog⁡xalog⁡xb\frac{\frac{\log_x b - \log_x a}{\log_x a \log_x b}}{\frac{\log_x b + \log_x a}{\log_x a \log_x b}}

Skraćujemo zajednički imenilac log⁡xalog⁡xb: \log_x a \log_x b :

log⁡xb−log⁡xalog⁡xb+log⁡xa\frac{\log_x b - \log_x a}{\log_x b + \log_x a}

Primenjujemo osnovne osobine logaritama za razliku i zbir logaritama sa istom osnovom:

log⁡x(ba)log⁡x(ab)\frac{\log_x \left(\frac{b}{a}\right)}{\log_x (ab)}

Primenjujemo formulu za promenu osnove logaritma log⁡cMlog⁡cN=log⁡NM: \frac{\log_c M}{\log_c N} = \log_N M :

log⁡ab(ba)\log_{ab} \left(\frac{b}{a}\right)

Ovim smo dokazali traženi identitet. Uslovi pod kojima on važi, pored onih datih u zadatku, su:

x≠1iab≠1x \neq 1 \quad \text{i} \quad ab \neq 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti