2199. Pojam i svojstva logaritma

Polazimo od date jednakosti:

\log_b x = \frac{1}{2}(\log_a x + \log_c x)

Koristimo formulu za promenu osnove logaritma $\log_u v = \frac{\log_w v}{\log_w u}$ da bismo sve logaritme sveli na osnovu $b :$

\log_b x = \frac{1}{2} \left( \frac{\log_b x}{\log_b a} + \frac{\log_b x}{\log_b c} \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\log_b x$ ispred zagrade na desnoj strani:

\log_b x = \frac{1}{2} \log_b x \left( \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_b c} \right)

S obzirom na to da je $x \neq 1 ,$ važi $\log_b x \neq 0 ,$ pa možemo podeliti obe strane sa $\log_b x :$

1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_b c} \right)

Množimo obe strane sa $2 :$

2 = \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_b c}

Sabiramo razlomke na desnoj strani tako što ih svodimo na zajednički imenilac:

2 = \frac{\log_b c + \log_b a}{\log_b a \cdot \log_b c}

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama $\log_b c + \log_b a = \log_b (ac) :$

2 = \frac{\log_b (ac)}{\log_b a \cdot \log_b c}

Množimo obe strane sa $\log_b a \cdot \log_b c :$

2 \log_b a \cdot \log_b c = \log_b (ac)

Delimo obe strane sa $2 :$

\log_b a \cdot \log_b c = \frac{1}{2} \log_b (ac)

Primenjujemo pravilo za stepenovanje argumenta logaritma $s \log_b y = \log_b y^s :$

\log_b a \cdot \log_b c = \log_b \left( (ac)^{\frac{1}{2}} \right)

Zapisujemo stepen $\frac{1}{2}$ kao kvadratni koren:

\log_b a \cdot \log_b c = \log_b \sqrt{ac}

Zamenom strana dobijamo konačan oblik koji je trebalo dokazati:

\log_b \sqrt{ac} = \log_b a \cdot \log_b c

2199.Pojam i svojstva logaritma