Dokaz sa uslovom a kvadrat plus b kvadrat = 11ab

Polazimo od kvadrata razlike brojeva $a$ i $b :$

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Grupišemo članove kako bismo iskoristili dati uslov $a^2 + b^2 = 11ab :$

(a-b)^2 = (a^2 + b^2) - 2ab

Zamenjujemo $a^2 + b^2$ sa $11ab :$

(a-b)^2 = 11ab - 2ab

Sređujemo izraz:

(a-b)^2 = 9ab

Pošto je $a \neq b ,$ važi $(a-b)^2 > 0 .$ Odatle sledi da mora biti i $9ab > 0 ,$ odnosno $ab > 0 .$

ab > 0

Korenujemo obe strane jednačine:

\sqrt{(a-b)^2} = \sqrt{9ab}

Po definiciji apsolutne vrednosti za izraz $a-b$ imamo:

|a-b| = \begin{cases} a-b, & \text{za } a-b \ge 0 \\ -(a-b), & \text{za } a-b < 0 \end{cases}

Primenjujemo osobinu korena $\sqrt{x^2} = |x|$ na levu stranu jednačine:

|a-b| = 3\sqrt{ab}

Definišemo apsolutnu vrednost za broj $a :$

|a| = \begin{cases} a, & \text{za } a \ge 0 \\ -a, & \text{za } a < 0 \end{cases}

Definišemo apsolutnu vrednost za broj $b :$

|b| = \begin{cases} b, & \text{za } b \ge 0 \\ -b, & \text{za } b < 0 \end{cases}

Pošto je $ab > 0 ,$ brojevi $a$ i $b$ su istog znaka, pa važi $ab = |a| \cdot |b| :$

|a-b| = 3\sqrt{|a| \cdot |b|}

Delimo obe strane sa 3:

\frac{|a-b|}{3} = \sqrt{|a| \cdot |b|}

Zapisujemo koren kao stepen:

\frac{|a-b|}{3} = (|a| \cdot |b|)^{\frac{1}{2}}

Pošto su obe strane pozitivne, logaritmujemo ih za osnovu $c$ ( $c > 0, c \neq 1$ ):

\log_c \frac{|a-b|}{3} = \log_c (|a| \cdot |b|)^{\frac{1}{2}}

Primenjujemo osobinu logaritma za stepen $\log_a x^s = s \log_a x :$

\log_c \frac{|a-b|}{3} = \frac{1}{2} \log_c (|a| \cdot |b|)

Primenjujemo osobinu logaritma za proizvod $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y :$

\log_c \frac{|a-b|}{3} = \frac{1}{2} (\log_c |a| + \log_c |b|)

Ovim je dokaz završen.

509.b