2201. Pojam i svojstva logaritma

Koristeći osobinu logaritma $(\log_a b)^{-1} = \frac{1}{\log_a b} = \log_b a ,$ transformišemo sabirke na levoj strani nejednakosti:

(\log_2 3)^{-1} + (\log_4 3)^{-1} = \log_3 2 + \log_3 4

Primenjujemo osobinu za zbir logaritama sa istom osnovom $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy) :$

\log_3 2 + \log_3 4 = \log_3 (2 \cdot 4) = \log_3 8

Sada se početna nejednakost svodi na dokazivanje sledećeg izraza:

\log_3 8 < 2

Zapisujemo broj 2 na desnoj strani u obliku logaritma sa osnovom 3, koristeći osobinu $s = s \cdot \log_a a = \log_a a^s :$

2 = 2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9

Upoređujemo argumente dobijenih logaritama. Pošto je osnova logaritma veća od 1 ( $3 > 1$ ), logaritamska funkcija je strogo rastuća. Zato iz $8 < 9$ direktno sledi:

\log_3 8 < \log_3 9

Kako je $\log_3 9 = 2 ,$ zaključujemo da važi $\log_3 8 < 2 ,$ čime je početna nejednakost uspešno dokazana.

(\log_2 3)^{-1} + (\log_4 3)^{-1} < 2

508.b