2192. Pojam i svojstva logaritma

Koristeći osobinu logaritma $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} ,$ možemo prepisati sabirke na levoj strani nejednakosti.

(\log_2 \pi)^{-1} = \log_\pi 2 \quad \text{i} \quad (\log_5 \pi)^{-1} = \log_\pi 5

Zamenom ovih izraza u početnu nejednakost dobijamo:

\log_\pi 2 + \log_\pi 5 > 2

Primenom osobine za zbir logaritama sa istom osnovom $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy) ,$ spajamo logaritme na levoj strani.

\log_\pi (2 \cdot 5) > 2 \implies \log_\pi 10 > 2

Broj $2$ na desnoj strani možemo zapisati kao logaritam sa osnovom $\pi$ koristeći osobinu $s = \log_a a^s .$

2 = \log_\pi \pi^2

Sada nejednakost glasi:

\log_\pi 10 > \log_\pi \pi^2

Pošto je osnova logaritma $\pi > 1 ,$ logaritamska funkcija je strogo rastuća. Zbog toga se znak nejednakosti ne menja kada upoređujemo argumente.

10 > \pi^2

Da bismo dokazali da je $10 > \pi^2 ,$ možemo koristiti poznatu aproksimaciju $\pi < 3.15 .$

\pi^2 < 3.15^2 = \left(\frac{315}{100}\right)^2 = \left(\frac{63}{20}\right)^2 = \frac{3969}{400} = 9.9225

Kako je $9.9225 < 10 ,$ zaključujemo da je $\pi^2 < 10$ tačno, čime je dokazana i početna nejednakost.

(\log_2 \pi)^{-1} + (\log_5 \pi)^{-1} > 2

508.a