2191.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: log⁡aMlog⁡aN=log⁡bMlog⁡bN, \frac{\log_a M}{\log_a N} = \frac{\log_b M}{\log_b N} , gde je a>0, a > 0 , b>0, b > 0 , N>0, N > 0 , M>0, M > 0 , a≠1, a \neq 1 , b≠1, b \neq 1 , N≠1 N \neq 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane zadate jednakosti:

log⁡aMlog⁡aN\frac{\log_a M}{\log_a N}

Primenjujemo formulu za promenu osnove logaritma log⁡xy=log⁡zylog⁡zx \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} kako bismo prešli sa osnove a a na osnovu b. b . Za brojilac važi:

log⁡aM=log⁡bMlog⁡ba\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}

Istu formulu primenjujemo i na imenilac kako bismo takođe prešli na osnovu b: b :

log⁡aN=log⁡bNlog⁡ba\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}

Zamenjujemo dobijene izraze u početni razlomak:

log⁡aMlog⁡aN=log⁡bMlog⁡balog⁡bNlog⁡ba\frac{\log_a M}{\log_a N} = \frac{\frac{\log_b M}{\log_b a}}{\frac{\log_b N}{\log_b a}}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

log⁡bMlog⁡balog⁡bNlog⁡ba=log⁡bM⋅log⁡balog⁡bN⋅log⁡ba\frac{\frac{\log_b M}{\log_b a}}{\frac{\log_b N}{\log_b a}} = \frac{\log_b M \cdot \log_b a}{\log_b N \cdot \log_b a}

Skraćujemo zajednički činilac log⁡ba \log_b a u brojiocu i imeniocu. Ovo je dozvoljeno jer je prema uslovu zadatka a≠1, a \neq 1 , pa je log⁡ba≠0: \log_b a \neq 0 :

log⁡bM⋅log⁡balog⁡bN⋅log⁡ba=log⁡bMlog⁡bN\frac{\log_b M \cdot \log_b a}{\log_b N \cdot \log_b a} = \frac{\log_b M}{\log_b N}

Dobili smo desnu stranu početne jednakosti, čime je tvrđenje dokazano.

log⁡aMlog⁡aN=log⁡bMlog⁡bN\frac{\log_a M}{\log_a N} = \frac{\log_b M}{\log_b N}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti