Dokaz nejednakosti: recipročni logaritmi broja 3

Koristimo osobinu logaritma $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ da bismo transformisali izraze na levoj strani nejednakosti.

(\log_a b)^{-1} = \log_b a

Primenjujemo ovo pravilo na svaki sabirak pojedinačno.

(\log_2 3)^{-1} = \log_3 2 \quad \text{i} \quad (\log_5 3)^{-1} = \log_3 5

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz.

(\log_2 3)^{-1} + (\log_5 3)^{-1} = \log_3 2 + \log_3 5

Koristimo osobinu sabiranja logaritama sa istom osnovom: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy) .$

\log_3 2 + \log_3 5 = \log_3 (2 \cdot 5) = \log_3 10

Sada treba da uporedimo dobijeni izraz $\log_3 10$ sa brojem $2 .$ Zapisujemo broj $2$ kao logaritam sa osnovom $3 .$

2 = 2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9

Pošto je osnova logaritma veća od $1$ ( $a = 3 > 1$ ), logaritamska funkcija je strogo rastuća. Zato iz $10 > 9$ sledi da je $\log_3 10 > \log_3 9 .$

\log_3 10 > \log_3 9 \implies \log_3 10 > 2

Ovim smo dokazali traženu nejednakost.

(\log_2 3)^{-1} + (\log_5 3)^{-1} > 2

508.v