2194.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati: Ako je a2+b2=7ab, a^2 + b^2 = 7ab , tada je log⁡ca+b3=12(log⁡ca+log⁡cb), \log_c \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b) , a,b,c>0, a, b, c > 0 , c≠1. c \neq 1 .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednakosti:

a2+b2=7aba^2 + b^2 = 7ab

Dodajemo 2ab 2ab obema stranama jednakosti kako bismo na levoj strani formirali kvadrat binoma:

a2+2ab+b2=7ab+2aba^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab

Zapisujemo levu stranu kao kvadrat binoma, a desnu stranu sabiramo:

(a+b)2=9ab(a+b)^2 = 9ab

Delimo obe strane jednakosti sa 9: 9 :

(a+b)29=ab\frac{(a+b)^2}{9} = ab

Zapisujemo levu stranu kao jedinstven kvadrat:

(a+b3)2=ab\left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = ab

S obzirom na to da su a,b,c>0 a, b, c > 0 i c≠1, c \neq 1 , izrazi na obe strane su pozitivni, pa možemo logaritmovati obe strane za osnovu c: c :

log⁡c(a+b3)2=log⁡c(ab)\log_c \left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = \log_c (ab)

Primenjujemo osobine logaritma: logaritam stepena log⁡cxs=slog⁡cx \log_c x^s = s \log_c x na levoj strani i logaritam proizvoda log⁡c(xy)=log⁡cx+log⁡cy \log_c (xy) = \log_c x + \log_c y na desnoj strani:

2log⁡ca+b3=log⁡ca+log⁡cb2 \log_c \frac{a+b}{3} = \log_c a + \log_c b

Množenjem obe strane sa 12 \frac{1}{2} dobijamo traženu jednakost, čime je dokaz završen:

log⁡ca+b3=12(log⁡ca+log⁡cb)\log_c \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti