Dokaz: jednaki logaritmi sa osnovama a i b

Uvedimo smenu tako što ćemo izraz iz uslova zadatka izjednačiti sa nekom konstantom $k .$

\log_a M = \log_b N = k

Na osnovu definicije logaritma ( $x = \log_a b$ ako i samo ako je $a^x = b$ ), izrazimo $M$ i $N$ preko $k .$

M = a^k, \quad N = b^k

Pošto je po uslovu zadatka $M \neq 1 ,$ a $a > 0$ i $a \neq 1 ,$ zaključujemo da eksponent $k$ ne sme biti nula.

k \neq 0

Zamenimo dobijene izraze za $M$ i $N$ u desnu stranu jednakosti koju treba dokazati ( $\log_M N$ ).

\log_M N = \log_{a^k} b^k

Primenimo osobinu logaritma za stepen osnove: $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x .$

\log_{a^k} b^k = \frac{1}{k} \log_a b^k

Zatim primenimo osobinu logaritma za stepen argumenta: $\log_a x^s = s \log_a x .$

\frac{1}{k} \log_a b^k = \frac{1}{k} \cdot k \log_a b

Skratimo $k$ (što je dozvoljeno jer $k \neq 0$ ) i dobijamo konačan rezultat.

\frac{k}{k} \log_a b = \log_a b

Ovim smo pokazali da je izraz $\log_M N$ jednak $\log_a b ,$ čime je dokaz završen.

\log_M N = \log_a b

513