2196.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Ako su a,b,c∈R+∖{1}, a, b, c \in \mathbf{R}^+ \setminus \{1\} , izračunati (1+log⁡ca)⋅log⁡aac⋅log⁡bc−log⁡bac⋅log⁡cac⋅log⁡ac. (1 + \log_c a) \cdot \log_a ac \cdot \log_b c - \log_b ac \cdot \log_c ac \cdot \log_a c .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo jedinicu u prvoj zagradi kao logaritam sa osnovom c c kako bismo mogli da je saberemo sa drugim logaritmom:

1+log⁡ca=log⁡cc+log⁡ca=log⁡c(ac)1 + \log_c a = \log_c c + \log_c a = \log_c (ac)

Zamenimo dobijeni zbir u početni izraz:

log⁡c(ac)⋅log⁡a(ac)⋅log⁡bc−log⁡b(ac)⋅log⁡c(ac)⋅log⁡ac\log_c (ac) \cdot \log_a (ac) \cdot \log_b c - \log_b (ac) \cdot \log_c (ac) \cdot \log_a c

Preuredimo i grupišimo činioce u oba dela izraza kako bismo iskoristili osobinu promene osnove log⁡xy⋅log⁡yz=log⁡xz: \log_x y \cdot \log_y z = \log_x z :

(log⁡bc⋅log⁡c(ac))⋅log⁡a(ac)−log⁡b(ac)⋅(log⁡ac⋅log⁡c(ac))(\log_b c \cdot \log_c (ac)) \cdot \log_a (ac) - \log_b (ac) \cdot (\log_a c \cdot \log_c (ac))

Primenom navedene osobine, pojednostavljujemo prvi grupisani proizvod:

log⁡bc⋅log⁡c(ac)=log⁡b(ac)\log_b c \cdot \log_c (ac) = \log_b (ac)

Slično, primenjujemo osobinu i na drugi grupisani proizvod:

log⁡ac⋅log⁡c(ac)=log⁡a(ac)\log_a c \cdot \log_c (ac) = \log_a (ac)

Zamenom ovih rezultata nazad u izraz dobijamo:

log⁡b(ac)⋅log⁡a(ac)−log⁡b(ac)⋅log⁡a(ac)\log_b (ac) \cdot \log_a (ac) - \log_b (ac) \cdot \log_a (ac)

Kako su umanjenik i umanjilac jednaki, njihova razlika je nula:

00

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti