2204. Pojam i svojstva logaritma

Logaritmovanjem prve date jednakosti za osnovu 8 dobijamo:

\log_8 b = \frac{1}{1 - \log_8 a}

Slično, logaritmovanjem druge date jednakosti za osnovu 8 dobijamo:

\log_8 c = \frac{1}{1 - \log_8 b}

Uvedimo smene radi lakšeg zapisivanja i računanja: $x = \log_8 a ,$ $y = \log_8 b$ i $z = \log_8 c .$ Tada naše jednakosti postaju:

y = \frac{1}{1 - x} \quad \text{i} \quad z = \frac{1}{1 - y}

Iz prve jednakosti izrazimo $x$ preko $y :$

1 - x = \frac{1}{y} \implies x = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y}

Iz druge jednakosti izrazimo $y$ preko $z :$

1 - y = \frac{1}{z} \implies y = 1 - \frac{1}{z} = \frac{z - 1}{z}

Zamenimo dobijeni izraz za $y$ u jednačinu za $x :$

x = \frac{\frac{z - 1}{z} - 1}{\frac{z - 1}{z}}

Sredimo dobijeni dvojni razlomak:

x = \frac{\frac{z - 1 - z}{z}}{\frac{z - 1}{z}} = \frac{\frac{-1}{z}}{\frac{z - 1}{z}} = \frac{-1}{z - 1} = \frac{1}{1 - z}

Vratimo smene $x = \log_8 a$ i $z = \log_8 c$ u dobijeni izraz:

\log_8 a = \frac{1}{1 - \log_8 c}

Zapisivanjem ove jednakosti u eksponencijalnom obliku dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen:

a = 8^{\frac{1}{1 - \log_8 c}}

521