2211.

Pojam i svojstva logaritma

Razmotrimo prvo slučaj kada je $a = 1 .$ Tada su svi logaritmi oblika $\log_x 1 ,$ što je jednako nuli, pa za levu stranu jednakosti važi:

Desna strana za $a = 1$ je takođe jednaka nuli, pa jednakost trivijalno važi.

Pretpostavimo sada da je $a \neq 1 .$ Primenjujemo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ na levu stranu jednakosti kako bismo prešli na osnovu $a .$

Svodićemo dobijeni izraz na zajednički imenilac.

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ na brojilac.

Iz uslova zadatka imamo da je $c^2 - b^2 = a^2 .$ Zamenjujemo ovo u dobijeni izraz za brojilac.

Koristeći osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ i $\log_a a = 1 ,$ računamo vrednost brojioca.

Vraćamo dobijenu vrednost brojioca u razlomak.

Ovaj izraz možemo zapisati kao proizvod, a zatim ponovo primeniti pravilo za promenu osnove logaritma kako bismo se vratili na početne osnove.

Dobili smo desnu stranu početne jednakosti, čime je dokaz završen.