2212.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Naći prirodan broj n n ako važi log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅⋯⋅log⁡n(n+1)=10. \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \dots \cdot \log_n (n+1) = 10 .

REŠENJE ZADATKA

Koristićemo osobinu promene osnove logaritma: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .

Prevešćemo sve logaritme na osnovu 2.

log⁡23⋅log⁡24log⁡23⋅log⁡25log⁡24⋅⋯⋅log⁡2(n+1)log⁡2n=10\log_2 3 \cdot \frac{\log_2 4}{\log_2 3} \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 4} \cdot \dots \cdot \frac{\log_2 (n+1)}{\log_2 n} = 10

Skraćivanjem istih činilaca u brojiocu i imeniocu, na levoj strani ostaje samo poslednji brojilac.

log⁡2(n+1)=10\log_2 (n+1) = 10

Primenom definicije logaritma (log⁡ab=c  ⟺  ac=b \log_a b = c \iff a^c = b ) dobijamo jednačinu po n. n .

n+1=210n + 1 = 2^{10}

Računamo vrednost stepena.

n+1=1024n + 1 = 1024

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu.

n=1024−1n = 1024 - 1

Konačno rešenje je prirodan broj:

n=1023n = 1023

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti