Dokaz: n na kvadrat jednako (kn) na log m

Polazimo od date jednačine i prelazimo na logaritme sa istom osnovom. Najpogodnije je da sve logaritme svedemo na osnovu $k$ koristeći formulu $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .$

\log_k x + \frac{\log_k x}{\log_k n} = 2 \frac{\log_k x}{\log_k m}

Pošto je $x \neq 1 ,$ važi $\log_k x \neq 0 ,$ pa celu jednačinu možemo podeliti sa $\log_k x .$

1 + \frac{1}{\log_k n} = \frac{2}{\log_k m}

Množimo celu jednačinu sa $\log_k n \cdot \log_k m$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

\log_k n \cdot \log_k m + \log_k m = 2\log_k n

Izvlačimo $\log_k m$ kao zajednički činilac na levoj strani jednačine.

\log_k m (\log_k n + 1) = 2\log_k n

Jedinicu u zagradi možemo zapisati kao $\log_k k ,$ a na desnoj strani primenjujemo pravilo za logaritam stepena $s \log_a x = \log_a x^s .$

\log_k m (\log_k n + \log_k k) = \log_k n^2

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ unutar zagrade.

\log_k m \cdot \log_k (kn) = \log_k n^2

Koristeći komutativnost množenja i pravilo za logaritam stepena, levu stranu možemo prepisati tako da $\log_k m$ postane izložilac argumenta logaritma.

\log_k (kn)^{\log_k m} = \log_k n^2

Pošto su logaritmi sa istom osnovom jednaki, moraju biti jednaki i njihovi argumenti (zbog injektivnosti logaritamske funkcije).

(kn)^{\log_k m} = n^2

Zamenom strana dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen.

n^2 = (kn)^{\log_k m}

Započni učenje

Online časovi

518

Beleške