2203.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Ako je log⁡kx+log⁡nx=2log⁡mx, \log_k x + \log_n x = 2\log_m x , dokazati da je n2=(kn)log⁡km n^2 = (kn)^{\log_k m} (x,m,n,k>0, x, m, n, k > 0 , x,m,n,k≠1 x, m, n, k \neq 1 ).

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednačine i prelazimo na logaritme sa istom osnovom. Najpogodnije je da sve logaritme svedemo na osnovu k k koristeći formulu log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .

log⁡kx+log⁡kxlog⁡kn=2log⁡kxlog⁡km\log_k x + \frac{\log_k x}{\log_k n} = 2 \frac{\log_k x}{\log_k m}

Pošto je x≠1, x \neq 1 , važi log⁡kx≠0, \log_k x \neq 0 , pa celu jednačinu možemo podeliti sa log⁡kx. \log_k x .

1+1log⁡kn=2log⁡km1 + \frac{1}{\log_k n} = \frac{2}{\log_k m}

Množimo celu jednačinu sa log⁡kn⋅log⁡km \log_k n \cdot \log_k m kako bismo se oslobodili razlomaka.

log⁡kn⋅log⁡km+log⁡km=2log⁡kn\log_k n \cdot \log_k m + \log_k m = 2\log_k n

Izvlačimo log⁡km \log_k m kao zajednički činilac na levoj strani jednačine.

log⁡km(log⁡kn+1)=2log⁡kn\log_k m (\log_k n + 1) = 2\log_k n

Jedinicu u zagradi možemo zapisati kao log⁡kk, \log_k k , a na desnoj strani primenjujemo pravilo za logaritam stepena slog⁡ax=log⁡axs. s \log_a x = \log_a x^s .

log⁡km(log⁡kn+log⁡kk)=log⁡kn2\log_k m (\log_k n + \log_k k) = \log_k n^2

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy) \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) unutar zagrade.

log⁡km⋅log⁡k(kn)=log⁡kn2\log_k m \cdot \log_k (kn) = \log_k n^2

Koristeći komutativnost množenja i pravilo za logaritam stepena, levu stranu možemo prepisati tako da log⁡km \log_k m postane izložilac argumenta logaritma.

log⁡k(kn)log⁡km=log⁡kn2\log_k (kn)^{\log_k m} = \log_k n^2

Pošto su logaritmi sa istom osnovom jednaki, moraju biti jednaki i njihovi argumenti (zbog injektivnosti logaritamske funkcije).

(kn)log⁡km=n2(kn)^{\log_k m} = n^2

Zamenom strana dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen.

n2=(kn)log⁡kmn^2 = (kn)^{\log_k m}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti