2202. Pojam i svojstva logaritma

Da bismo dokazali jednakost, izrazimo logaritme $a$ i $b$ preko iste osnove. Izabraćemo osnovu 2 primenom formule $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x} .$

a = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}, \quad b = \frac{\log_2 54}{\log_2 24}

Rastavimo brojeve pod logaritmima na proste činioce.

a = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)}, \quad b = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^3)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)}

Primenimo osobine logaritma proizvoda i stepena: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$ i $\log_c x^s = s \log_c x .$

a = \frac{\log_2 2 + 2\log_2 3}{2\log_2 2 + \log_2 3}, \quad b = \frac{\log_2 2 + 3\log_2 3}{3\log_2 2 + \log_2 3}

Znamo da je $\log_2 2 = 1 .$ Uvedimo smenu $x = \log_2 3$ radi lakšeg zapisivanja i računanja.

a = \frac{1 + 2x}{2 + x}, \quad b = \frac{1 + 3x}{3 + x}

Sada računamo proizvod $ab .$

ab = \frac{1 + 2x}{2 + x} \cdot \frac{1 + 3x}{3 + x} = \frac{1 + 3x + 2x + 6x^2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{6x^2 + 5x + 1}{(2 + x)(3 + x)}

Zatim računamo razliku $a - b .$

a - b = \frac{1 + 2x}{2 + x} - \frac{1 + 3x}{3 + x} = \frac{(1 + 2x)(3 + x) - (1 + 3x)(2 + x)}{(2 + x)(3 + x)}

Sredimo brojilac u izrazu za razliku.

a - b = \frac{(3 + x + 6x + 2x^2) - (2 + x + 6x + 3x^2)}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{2x^2 + 7x + 3 - 3x^2 - 7x - 2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{1 - x^2}{(2 + x)(3 + x)}

Sada zamenimo dobijene izraze u početni izraz $ab + 5(a - b) .$

ab + 5(a - b) = \frac{6x^2 + 5x + 1}{(2 + x)(3 + x)} + 5 \cdot \frac{1 - x^2}{(2 + x)(3 + x)}

Saberimo razlomke i sredimo brojilac.

ab + 5(a - b) = \frac{6x^2 + 5x + 1 + 5 - 5x^2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{x^2 + 5x + 6}{(2 + x)(3 + x)}

Pomnožimo zagrade u imeniocu da bismo ga uporedili sa brojiocem.

(2 + x)(3 + x) = 6 + 2x + 3x + x^2 = x^2 + 5x + 6

Pošto su brojilac i imenilac jednaki, vrednost izraza je 1, čime je dokaz završen.

ab + 5(a - b) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} = 1

509.g