2202.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati: Ako je a=log⁡1218, a = \log_{12} 18 , b=log⁡2454 b = \log_{24} 54 tada je ab+5(a−b)=1. ab + 5(a-b) = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost, izrazimo logaritme a a i b b preko iste osnove. Izabraćemo osnovu 2 primenom formule log⁡xy=log⁡cylog⁡cx. \log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x} .

a=log⁡218log⁡212,b=log⁡254log⁡224a = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}, \quad b = \frac{\log_2 54}{\log_2 24}

Rastavimo brojeve pod logaritmima na proste činioce.

a=log⁡2(2⋅32)log⁡2(22⋅3),b=log⁡2(2⋅33)log⁡2(23⋅3)a = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)}, \quad b = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^3)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)}

Primenimo osobine logaritma proizvoda i stepena: log⁡c(xy)=log⁡cx+log⁡cy \log_c(xy) = \log_c x + \log_c y i log⁡cxs=slog⁡cx. \log_c x^s = s \log_c x .

a=log⁡22+2log⁡232log⁡22+log⁡23,b=log⁡22+3log⁡233log⁡22+log⁡23a = \frac{\log_2 2 + 2\log_2 3}{2\log_2 2 + \log_2 3}, \quad b = \frac{\log_2 2 + 3\log_2 3}{3\log_2 2 + \log_2 3}

Znamo da je log⁡22=1. \log_2 2 = 1 . Uvedimo smenu x=log⁡23 x = \log_2 3 radi lakšeg zapisivanja i računanja.

a=1+2x2+x,b=1+3x3+xa = \frac{1 + 2x}{2 + x}, \quad b = \frac{1 + 3x}{3 + x}

Sada računamo proizvod ab. ab .

ab=1+2x2+x⋅1+3x3+x=1+3x+2x+6x2(2+x)(3+x)=6x2+5x+1(2+x)(3+x)ab = \frac{1 + 2x}{2 + x} \cdot \frac{1 + 3x}{3 + x} = \frac{1 + 3x + 2x + 6x^2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{6x^2 + 5x + 1}{(2 + x)(3 + x)}

Zatim računamo razliku a−b. a - b .

a−b=1+2x2+x−1+3x3+x=(1+2x)(3+x)−(1+3x)(2+x)(2+x)(3+x)a - b = \frac{1 + 2x}{2 + x} - \frac{1 + 3x}{3 + x} = \frac{(1 + 2x)(3 + x) - (1 + 3x)(2 + x)}{(2 + x)(3 + x)}

Sredimo brojilac u izrazu za razliku.

a−b=(3+x+6x+2x2)−(2+x+6x+3x2)(2+x)(3+x)=2x2+7x+3−3x2−7x−2(2+x)(3+x)=1−x2(2+x)(3+x)a - b = \frac{(3 + x + 6x + 2x^2) - (2 + x + 6x + 3x^2)}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{2x^2 + 7x + 3 - 3x^2 - 7x - 2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{1 - x^2}{(2 + x)(3 + x)}

Sada zamenimo dobijene izraze u početni izraz ab+5(a−b). ab + 5(a - b) .

ab+5(a−b)=6x2+5x+1(2+x)(3+x)+5⋅1−x2(2+x)(3+x)ab + 5(a - b) = \frac{6x^2 + 5x + 1}{(2 + x)(3 + x)} + 5 \cdot \frac{1 - x^2}{(2 + x)(3 + x)}

Saberimo razlomke i sredimo brojilac.

ab+5(a−b)=6x2+5x+1+5−5x2(2+x)(3+x)=x2+5x+6(2+x)(3+x)ab + 5(a - b) = \frac{6x^2 + 5x + 1 + 5 - 5x^2}{(2 + x)(3 + x)} = \frac{x^2 + 5x + 6}{(2 + x)(3 + x)}

Pomnožimo zagrade u imeniocu da bismo ga uporedili sa brojiocem.

(2+x)(3+x)=6+2x+3x+x2=x2+5x+6(2 + x)(3 + x) = 6 + 2x + 3x + x^2 = x^2 + 5x + 6

Pošto su brojilac i imenilac jednaki, vrednost izraza je 1, čime je dokaz završen.

ab+5(a−b)=x2+5x+6x2+5x+6=1ab + 5(a - b) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti