2193.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Ako su a, a , b, b , c, c , d d pozitivni realni brojevi različiti od 1, vrednost izraza log⁡ba⋅log⁡cb⋅log⁡dc⋅log⁡ad \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c \cdot \log_a d jednaka je 1. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Koristićemo formulu za promenu osnove logaritma. Prebacićemo sve logaritme na proizvoljnu novu osnovu (na primer, dekadni logaritam log⁡ \log ):

log⁡yx=log⁡xlog⁡y\log_y x = \frac{\log x}{\log y}

Primenjujemo ovu formulu na svaki logaritam u datom izrazu:

log⁡ba=log⁡alog⁡b,log⁡cb=log⁡blog⁡c,log⁡dc=log⁡clog⁡d,log⁡ad=log⁡dlog⁡a\log_b a = \frac{\log a}{\log b}, \quad \log_c b = \frac{\log b}{\log c}, \quad \log_d c = \frac{\log c}{\log d}, \quad \log_a d = \frac{\log d}{\log a}

Zamenjujemo dobijene razlomke u početni proizvod:

log⁡alog⁡b⋅log⁡blog⁡c⋅log⁡clog⁡d⋅log⁡dlog⁡a\frac{\log a}{\log b} \cdot \frac{\log b}{\log c} \cdot \frac{\log c}{\log d} \cdot \frac{\log d}{\log a}

Pošto su a,b,c,d a, b, c, d pozitivni brojevi različiti od 1, njihovi logaritmi su različiti od nule. Zato možemo da grupišemo i skratimo odgovarajuće činioce u brojiocu i imeniocu:

log⁡alog⁡a⋅log⁡blog⁡b⋅log⁡clog⁡c⋅log⁡dlog⁡d=1⋅1⋅1⋅1=1\frac{\log a}{\log a} \cdot \frac{\log b}{\log b} \cdot \frac{\log c}{\log c} \cdot \frac{\log d}{\log d} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Ovim je dokazano da je vrednost početnog izraza jednaka 1.

log⁡ba⋅log⁡cb⋅log⁡dc⋅log⁡ad=1\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c \cdot \log_a d = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti