2193. Pojam i svojstva logaritma

Koristićemo formulu za promenu osnove logaritma. Prebacićemo sve logaritme na proizvoljnu novu osnovu (na primer, dekadni logaritam $\log$ ):

\log_y x = \frac{\log x}{\log y}

Primenjujemo ovu formulu na svaki logaritam u datom izrazu:

\log_b a = \frac{\log a}{\log b}, \quad \log_c b = \frac{\log b}{\log c}, \quad \log_d c = \frac{\log c}{\log d}, \quad \log_a d = \frac{\log d}{\log a}

Zamenjujemo dobijene razlomke u početni proizvod:

\frac{\log a}{\log b} \cdot \frac{\log b}{\log c} \cdot \frac{\log c}{\log d} \cdot \frac{\log d}{\log a}

Pošto su $a, b, c, d$ pozitivni brojevi različiti od 1, njihovi logaritmi su različiti od nule. Zato možemo da grupišemo i skratimo odgovarajuće činioce u brojiocu i imeniocu:

\frac{\log a}{\log a} \cdot \frac{\log b}{\log b} \cdot \frac{\log c}{\log c} \cdot \frac{\log d}{\log d} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Ovim je dokazano da je vrednost početnog izraza jednaka 1.

\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c \cdot \log_a d = 1

516