2208.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: log⁡abc=log⁡ac⋅log⁡bclog⁡ac+log⁡bc, \log_{ab} c = \frac{\log_a c \cdot \log_b c}{\log_a c + \log_b c} , (a,b,c>0, a, b, c > 0 , a,b,ab,c≠1 a, b, ab, c \neq 1 ).

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Koristimo osobinu promene osnove logaritma log⁡xy=1log⁡yx \log_x y = \frac{1}{\log_y x} da pređemo na osnovu c. c .

log⁡abc=1log⁡c(ab)\log_{ab} c = \frac{1}{\log_c (ab)}

Primenjujemo pravilo za logaritam proizvoda u imeniocu: log⁡x(yz)=log⁡xy+log⁡xz. \log_x (yz) = \log_x y + \log_x z .

1log⁡c(ab)=1log⁡ca+log⁡cb\frac{1}{\log_c (ab)} = \frac{1}{\log_c a + \log_c b}

Ponovo koristimo pravilo za promenu osnove kako bismo logaritme u imeniocu vratili na osnove a a i b. b .

log⁡ca=1log⁡acilog⁡cb=1log⁡bc\log_c a = \frac{1}{\log_a c} \quad \text{i} \quad \log_c b = \frac{1}{\log_b c}

Zamenjujemo ove izraze nazad u naš razlomak.

1log⁡ca+log⁡cb=11log⁡ac+1log⁡bc\frac{1}{\log_c a + \log_c b} = \frac{1}{\frac{1}{\log_a c} + \frac{1}{\log_b c}}

Svodićemo razlomke u imeniocu na zajednički imenilac.

11log⁡ac+1log⁡bc=1log⁡bc+log⁡aclog⁡ac⋅log⁡bc\frac{1}{\frac{1}{\log_a c} + \frac{1}{\log_b c}} = \frac{1}{\frac{\log_b c + \log_a c}{\log_a c \cdot \log_b c}}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

1log⁡ac+log⁡bclog⁡ac⋅log⁡bc=log⁡ac⋅log⁡bclog⁡ac+log⁡bc\frac{1}{\frac{\log_a c + \log_b c}{\log_a c \cdot \log_b c}} = \frac{\log_a c \cdot \log_b c}{\log_a c + \log_b c}

Ovim smo dobili desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

log⁡abc=log⁡ac⋅log⁡bclog⁡ac+log⁡bc\log_{ab} c = \frac{\log_a c \cdot \log_b c}{\log_a c + \log_b c}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti