2209.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: log⁡aNlog⁡abN=1+log⁡ab \frac{\log_a N}{\log_{ab} N} = 1 + \log_a b (a,b,N>0, a, b, N > 0 , a≠1, a \neq 1 , ab≠1, ab \neq 1 , N≠1 N \neq 1 );

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti.

log⁡aNlog⁡abN\frac{\log_a N}{\log_{ab} N}

Primenjujemo osobinu logaritma za promenu osnove, odnosno prelazimo na osnovu N. N . Koristimo formulu log⁡xy=1log⁡yx. \log_x y = \frac{1}{\log_y x} .

1log⁡Na1log⁡N(ab)\frac{\frac{1}{\log_N a}}{\frac{1}{\log_N (ab)}}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

log⁡N(ab)log⁡Na\frac{\log_N (ab)}{\log_N a}

U brojiocu primenjujemo osobinu logaritma proizvoda: log⁡N(ab)=log⁡Na+log⁡Nb. \log_N (ab) = \log_N a + \log_N b .

log⁡Na+log⁡Nblog⁡Na\frac{\log_N a + \log_N b}{\log_N a}

Razdvajamo dobijeni izraz na zbir dva razlomka sa istim imeniocem.

log⁡Nalog⁡Na+log⁡Nblog⁡Na\frac{\log_N a}{\log_N a} + \frac{\log_N b}{\log_N a}

Prvi razlomak je jednak 1, 1 , a na drugi razlomak primenjujemo formulu za promenu osnove u obrnutom smeru: log⁡Nblog⁡Na=log⁡ab. \frac{\log_N b}{\log_N a} = \log_a b .

1+log⁡ab1 + \log_a b

Dobili smo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

log⁡aNlog⁡abN=1+log⁡ab\frac{\log_a N}{\log_{ab} N} = 1 + \log_a b

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti