Dokaz: količnik logaritama ne zavisi od broja N

Zapišimo početni izraz:

\frac{\log_a N}{\log_b N}

Primenimo formulu za promenu osnove logaritma $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$ na brojilac, tako da nova osnova bude $b :$

\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}

Zamenimo dobijeni izraz za brojilac u početni razlomak:

\frac{\frac{\log_b N}{\log_b a}}{\log_b N}

Sredimo dvojni razlomak i skratimo ga sa $\log_b N$ (što je dozvoljeno jer je $N \neq 1 ,$ pa je $\log_b N \neq 0$ ):

\frac{\log_b N}{\log_b a \cdot \log_b N} = \frac{1}{\log_b a}

Primenimo osobinu logaritma $\frac{1}{\log_x y} = \log_y x :$

\log_a b

Dobili smo izraz koji sadrži samo konstante $a$ i $b .$ Time smo dokazali da vrednost početnog izraza ne zavisi od broja $N .$

\frac{\log_a N}{\log_b N} = \log_a b

514