2207.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da vrednost izraza log⁡aNlog⁡bN \frac{\log_a N}{\log_b N} ne zavisi od broja N N (a,b,N>0, a, b, N > 0 , a,b,N≠1 a, b, N \neq 1 ).

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo početni izraz:

log⁡aNlog⁡bN\frac{\log_a N}{\log_b N}

Primenimo formulu za promenu osnove logaritma log⁡xy=log⁡cylog⁡cx \log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x} na brojilac, tako da nova osnova bude b: b :

log⁡aN=log⁡bNlog⁡ba\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}

Zamenimo dobijeni izraz za brojilac u početni razlomak:

log⁡bNlog⁡balog⁡bN\frac{\frac{\log_b N}{\log_b a}}{\log_b N}

Sredimo dvojni razlomak i skratimo ga sa log⁡bN \log_b N (što je dozvoljeno jer je N≠1, N \neq 1 , pa je log⁡bN≠0 \log_b N \neq 0 ):

log⁡bNlog⁡ba⋅log⁡bN=1log⁡ba\frac{\log_b N}{\log_b a \cdot \log_b N} = \frac{1}{\log_b a}

Primenimo osobinu logaritma 1log⁡xy=log⁡yx: \frac{1}{\log_x y} = \log_y x :

log⁡ab\log_a b

Dobili smo izraz koji sadrži samo konstante a a i b. b . Time smo dokazali da vrednost početnog izraza ne zavisi od broja N. N .

log⁡aNlog⁡bN=log⁡ab\frac{\log_a N}{\log_b N} = \log_a b

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti