PrethodniSledeći
2213.

523

TEKST ZADATKA

Dokazati n=−log⁡3log⁡3…3333⏟n puta. n = -\log_3 \log_3 \underbrace{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\dots \sqrt[3]{3}}}}_{n \text{ puta}} .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo izraz pod logaritmima u obliku stepena. Znamo da se treći koren može zapisati kao stepen:

a3=a13\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}

Primenom ovog pravila na višestruke korene, gde se koren primenjuje n n puta, dobijamo:

…3333⏟n puta=3(13)n=33−n\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\dots \sqrt[3]{3}}}}_{n \text{ puta}} = 3^{\left(\frac{1}{3}\right)^n} = 3^{3^{-n}}

Zamenimo dobijeni stepen nazad u desnu stranu početnog izraza:

−log⁡3log⁡3(33−n)-\log_3 \log_3 \left( 3^{3^{-n}} \right)

Primenimo osnovnu osobinu logaritma log⁡aas=s \log_a a^s = s na unutrašnji logaritam:

log⁡3(33−n)=3−n\log_3 \left( 3^{3^{-n}} \right) = 3^{-n}

Nakon rešavanja unutrašnjeg logaritma, izraz postaje:

−log⁡3(3−n)-\log_3 \left( 3^{-n} \right)

Ponovo primenimo istu osobinu logaritma na preostali izraz:

−log⁡3(3−n)=−(−n)-\log_3 \left( 3^{-n} \right) = -(-n)

Sređivanjem znakova dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen:

−(−n)=n-(-n) = n

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu