2206.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati: Ako je a2+4b2=12ab a^2 + 4b^2 = 12ab i a>0, a > 0 , b>0, b > 0 , tada je lg⁡(a+2b)−2lg⁡2=12(lg⁡a+lg⁡b). \lg(a+2b) - 2\lg 2 = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od datog uslova:

a2+4b2=12aba^2 + 4b^2 = 12ab

Dodajemo 4ab 4ab obema stranama jednakosti kako bismo na levoj strani formirali kvadrat binoma:

a2+4ab+4b2=12ab+4aba^2 + 4ab + 4b^2 = 12ab + 4ab

Sređujemo izraz prepoznavanjem kvadrata binoma na levoj strani:

(a+2b)2=16ab(a+2b)^2 = 16ab

S obzirom na to da je a>0 a > 0 i b>0, b > 0 , izrazi sa obe strane su strogo pozitivni. Logaritmujemo obe strane jednakosti dekadnim logaritmom (lg⁡ \lg ):

lg⁡((a+2b)2)=lg⁡(16ab)\lg((a+2b)^2) = \lg(16ab)

Primenjujemo osobinu logaritma stepena lg⁡xs=slg⁡x \lg x^s = s \lg x na levoj strani i osobinu logaritma proizvoda lg⁡(xy)=lg⁡x+lg⁡y \lg(xy) = \lg x + \lg y na desnoj strani:

2lg⁡(a+2b)=lg⁡16+lg⁡a+lg⁡b2\lg(a+2b) = \lg 16 + \lg a + \lg b

Zapisujemo broj 16 kao 24 2^4 i primenjujemo osobinu logaritma stepena:

lg⁡16=lg⁡(24)=4lg⁡2\lg 16 = \lg(2^4) = 4\lg 2

Zamenjujemo dobijeni izraz u prethodnu jednakost:

2lg⁡(a+2b)=4lg⁡2+lg⁡a+lg⁡b2\lg(a+2b) = 4\lg 2 + \lg a + \lg b

Delimo celu jednakost sa 2:

lg⁡(a+2b)=2lg⁡2+12(lg⁡a+lg⁡b)\lg(a+2b) = 2\lg 2 + \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)

Prebacujemo 2lg⁡2 2\lg 2 na levu stranu, čime dobijamo traženi izraz:

lg⁡(a+2b)−2lg⁡2=12(lg⁡a+lg⁡b)\lg(a+2b) - 2\lg 2 = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)

Ovim je dokaz završen.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti